Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Фок В.А. -> "Теория пространства, времени и тяготения" -> 50

Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.

Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения — М.: Технико-теоретическая литература, 1956. — 504 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaprostranstvavremeniityagoteniya1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 167 >> Следующая

массы P>ik есть функция состояния. Таким образом, вид тензора массы для
случая пылевидной материи может считаться установленным.
Переходим теперь к обобщению уравнений гидродинамики идеальной жидкости.
В нерелятивистской теории этот случай характеризуется тем, что тензор
напряжений сводится к скаляру. Это условие легко допускает релятивистское
обобщение. Предположим, что умноженный на с2 тензор массы (тензор
энергии) имеет вид
где р.* и р - четырехмерные скаляры, связанные соотношением
В сопутствующей системе отсчета (относительно которой скорость в данной
точке в данный момент времени равна нулю) составляющая роо тензора массы
равна р.*. Поэтому величина р* представляет плотность массы покоя
жидкости. Так как жидкость предполагается упругой и может обладать
потенциальной энергией сжатия, то здесь в массу покоя включена масса,
соответствующая этой энергии. Поскольку энергия сжатия может меняться,
масса покоя жидкого объема не будет оставаться постоянной. Имея это в
виду, мы ввели для плотности полной массы покоя особое обозначение р.*,
оставляя символ р* для плотности той части массы покоя, которая в ходе
процесса не меняется.
Составим уравнения движения. Полагая для краткости
*=о
и пользуясь введенным выше обозначением да* для ускорения, мы будем иметь
(32.17)
Р* =/(/"•
(32.18)
(32.19)
¦да* - в; ~
* дх,'
(32.20)
При отсутствии внешних сил это выражение равно нулю.
Используя равенства (32.14), получаем для Q второе выражение:
136
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ
[гл. II
где - субстанциальная производная, a dx- дифференциал собственного
времени частицы. Что касается самой величины р, то из сопоставления
полученных уравнений движения с нерелятивистскими легко видеть, что р
есть давление. Приравнивая оба выражения для Q, получим
*)?+-?Н- <32-22>
к=0
2 [(>•+:
Так как мы предполагаем, что р* есть функция от р, то мы можем ввести
новую величину р* при помощи дифференциального уравнения
dp* dp*
* , jP ¦ (32.23)
Постоянную интегрирования мы можем выбрать, например, так, чтобы при р =
0 было р* = р*. Используя (32.23), мы можем предыдущее уравнение написать
в виде
a?<pV> = 0. (32.24)
Отсюда видно, что величина р* может быть истолкована, как инвариантная
плотность той части массы покоя, которая во время движения не меняется.
Эта величина, как и р*, будет функцией от р.
Положим
1*' = Р'(1+^)- (32.25)
Из дифференциального соотношениямежду р.* и р* получаем
(32.26)
Р
откуда
р
п= J (32'27j
o'
Величина П может быть истолкована, по аналогии с (30.11), как
потенциальная энергия единицы массы жидкости (под массой мы здесь
разумеем ту часть массы покоя, которая не меняется во время движения).
Выражая р* через р* и ГГ, мы можем написать тензор энергии в виде
С27Х* = [р* + 1 (р*п +р)] а*и*-рекьш, (32.28)
§ 32]
ПРИМЕРЫ ТЕНЗОРА МАССЫ
137
тогда как уравнения движения напишутся:
[р* + ^(р'П+р)]
(32.29)
Вместо уравнения для нулевой компоненты ускорения можно взять уравнение
неразрывности в форме (32.24).
Заметим, что инвариант тензора массы равен
Из сопоставления уравнений движения (32.29) с формулой (32.28) для Tik
следует, что тензор массы Tik есть функция состояния, как'и должно быть.
Выпишем составляющие тензора массы в нерелятивистском при-
шению к главным. В главных членах мы положим, согласно (32.03),
где о - обычная плотность, удовлетворяющая уравнению неразрывности
(30.02). Мы будем иметь
Сравнивая поправочные члены в Г00 и Т0{ со скаляром и вектором Умова
(30.17) и (30.18), мы убедимся, что составляющие Г00 и Г0< тензора массы
могут быть написаны в виде
Таким образом, скаляр и вектор Умова дают релятивистские поправки второго
порядка к обычным выражениям для плотности массы и плотности количества
движения. Что касается пространственных составляющих Т*к, то они
пропорциональны рассмотренному в § 30 трехмерному тензору плотности
потока количества движения.
Пользуясь этим, мы можем написать приближенные выражения для тензора
массы также и для случая упругого тела. Мы будем
s
2*4r"=р*

С2 •
(32.30)
ближении, сохраняя, однако, в Т00 и Т0? члены порядка -^рпо отно-
Р* = Р -
(33.31)
(32.32)
т<к = -0 (К"*+ /*")•
70o==p + -l-S; T0i -
1_ С 1
(32.33)
138
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ
[ГЛ. II
иметь
гоо = р+^(тр^+рн),
Г* = J pVi + [vi (j pv^ + рп) - 2 Р(кЧ) - ¦ (32.34)
fc = 1
ТШ = -^Г (P(r)<(r)fc -/>")•
Если положить здесь, согласно (30.09), piU = - pb(li, мы вернемся к
случаю идеальной жидкости.
На релятивистской формулировке теории упругости мы здесь останавливаться
не будем,- Сделаем только одно замечание по вопросу о возможности
применения понятия абсолютно твердого тела в теории относительности. В
нерелятивистской механике понятие это вводится как абстракция, согласно
которой форма и размеры тела не меняются под действием каких угодно сил.
В частности, толчок, сообщенный в некоторый момент одному концу абсолютно
твердого тела, немедленно приводит в движение и другой конец тела. На
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed