Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Фок В.А. -> "Теория пространства, времени и тяготения" -> 48

Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.

Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения — М.: Технико-теоретическая литература, 1956. — 504 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaprostranstvavremeniityagoteniya1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 167 >> Следующая

тензор Tilc называют также тензором энергии; инвариант этого тензора
имеет размерность плотности энергии.
Мы наложим на тензор массы еще одно условие, которое можно формулировать
в виде следующего физического принципа. Тензор массы должен быть функцией
состояния системы. Уточним, что мы разумеем под состоянием.
Допустим, что уравнения движения и уравнения поля написаны в виде системы
п уравнений первого порядка для неизвестных функций "Cj, ..., (r)", причем
эти уравнения могут быть решены относительно производных по времени.
Задание начальных значений функций <р1, ..., определяет (вместе с
краевыми или иными условиями) их значения во всякий последующий момент
времени (принцип причинности). Тогда мы будем говорить, что функции <ov
..., характеризуют состояние системы. Всякую функцию от ..., <р", не
содержащую их производных по времени, а также не содержащую
*) Мы предпочитаем это название часто употребляемому названию "тензор
материи". Понятие "материя* имеет весьма общий характер и его не следует
отождествлять с понятием "масса".
Mik = с |* (х, V° - xkTi0)dV,
К* - ~М>°= [(л^Г00 - xJM)dV
(31.08)
(31.09)
9 Зак. 483. В. А. Фок
130
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ
1гл. II
явным образом координат, мы будем называть функцией состояния. (Заметим,
что в теории относительности производные по координатам и по времени
входят симметричным образом; поэтому, если некоторый скаляр, вектор или
тензор не содержит произзодных по времени, то он не содержит также и
произзодных по координатам).
Приведем примеры. В механике системы точек состояние характеризуется
координатами и скоростями частиц; всякая функция от координат и скоростей
будет функцией состояния. В гидродинамике состояние характеризуется тремя
составляющими скорости, плотностью и давлением (последние две величины мы
предполагаем связанными некоторым уравнением). В теории электромагнитного
поля состояние характеризуется антисимметричным тензором поля.
Таким образом, наш физический принцип *) требует, чтобы составляющие
тензора массы содержали только функции, характеризующие состояние
системы. Они не должны содержать производных от этих функций, а также не
должны содержать явным образом координат (само собою разумеется, мы имеем
в виду прямоугольные составляющие).
Обратимся к вопросу о том, насколько однозначно определяется тензор массы
из поставленных условий. Рассмотрим сперва уравнения, выражающие
равенство нулю расходимости тензора массы,
а также условие симметрии Т'1с-Ты. Кроме того, поставим условие, чтобы
десять интегралов уравнений (величины W, Р1, Мш) имели заданное значение.
Пусть А%т,пк есть некоторый тензор четвертого ранга, обладающий
следующими свойствами симметрии: антисимметрия в первой паре значков
(31.10)
(31.11)
антисимметрия во второй паре значков
(31.12)
и циклическая симметрия
пк шп____
Из этих свойств следует, что
д{т, пк дпк, гт
(31.13)
(31.14)
*) Этот принцип, повидимому, никем не был явным образом формулирован.
Однако все применяемые формы тензора массы фактически ему удовлетворяют.
ТЕНЗОР МАССЫ
131
Из вторых производных тензора Аип'пк построим тензор
л^лгт.пк
в"= S 1КЖГ- <3U5>
ш, /г=о
который будем называть тензором Круткова *). Нетрудно видеть, что тензор
Круткова будет симметричным. Далее, в силу антисимметрии дгт, пк в
значках п> fc мы имеем тождественно
!'&="¦
к-о
Кроме того, тензор Круткова обладает следующим свойством. Если в
интегралах вида М, Р', Mik, К1 [формулы (31.02), (31.03), (31.08),
(31.09)] заменить тензор Т'к тензором Круткова Bik, то эти объемные
интегралы приведутся к поверхностным. При условии, что тензор д1т'пк и
его первые производные обращаются в нуль на поверхности, ограничивающей
данный объем (или, если рассматривается все пространство, достаточно
быстро убывают на бесконечности), составленные из В1к интегралы эти
обратятся в нуль.
Пусть Tik--данный тензор массы. Прибавив к нему тензор Круткова Bik, мы
получим новый тензор
Тк - Т;к : В!к, (31.17)
который будет обладать следующими свойствами. Во-первых, он будет
симметричным, во-вторых, в силу (31.10) и (31.16), он будет удовлетворять
уравнению
i& = °-
1с-0
* * , & Наконец, составленные при помощи Т'к интегралы М, Р1, М{к, К*
буду г равны таким же интегралам, составленным при помощи данного тензора
Т'к.
Таким образом, если не принимать во внимание требования, чтобы
тензор массы был функцией состояния, то тензор Т'к, связанный с Т1к
формулой (31.17), будет удовлетворять всем остальным условиям.
*) В случае трех измерений обладающий указанными свойствами симметрии
тензор четвертого ранга Aim'пк сводится к симметричному тензору
'-'З л 31 31 и 12 I'5
второго ранга с составляющими Yu - Л'"' > Y22 = А ' " Тзз= А " Y23 =
i431,12, Y;u=/lt3'23, = Л23,81. Тензор введен и широко исполь-
зован Ю. А. Прутковым в его книге [,1:].
9*
132 теория относительности в тензорной форме [гл. п
Иначе говоря, при игнорировании этого требования тензор массы не
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed