Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
аналогичном виде и правую их часть.
Для этого рассмотрим тензор
3 3
= 7 + 2 рШПртп (33.16)
?и=о т,п = о
и обозначим взятую с обратным знаком расходимость этого тензора через /4.
Мы имеем
л = -2'*-й8- <ЗЗЛ7>
ft=о
Вычисляя сумму производных, мы получим, после некоторых простых
преобразований:
h = ~h S ''"С-(5Г i F" Ом. (33.18)
к, Z=o Л, Z=o
где Fm есть величина (33.02). В силу уравнений Максвелла (33.02) и
(33.03) это выражение равно
з
= (ЗЗЛ9>
* = 0
т. е. стоящей в правой части (33.15) плотности лоренцовой силы. Таким
образом, обе части уравнений (33.15) представлены в виде расходимости.
Переходя к контравариантный составляющим, мы можем уравнения
(J.V4-QV- р = 0 (33.20)
написать в виде
i?=(r). <зз-21>
к~0
где
с*т*ь = сЩ*U* (33.22)
142
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ
[ГЛ. II
есть тензор энергии рассматриваемой системы, состоящей из вещества и
поля. В последней формуле первое слагаемое есть тензор энергии вещества,
а второе - тензор энергии поля.
Тензор Т1к содержит инвариантную плотность р*, составляющие скорости иi и
составляющие поля Fik. Так как эти величины характеризуют состояние
системы, то очевидно, что рассмотренный тензор массы есть функция
состояния.
Рассмотрим тензор энергии поля несколько подробнее.
В трехмерных обозначениях составляющие тензора энергии электромагнитного
поля имеют вид:
W" = Um=±:(E* + H*), (33.23)
U°! = -UlH = i-[EXH]lt (33.24)
и* = Uik=--L (Е,Ек + И,Нк) -¦! - -l: 3ft (Е2 + W). (33.25)
Заметим, что инвариант тензора энергии поля равен нулю
в
2 е^и = 0. (33.26)
О
Составляющая U00 представляет, как всегда, плотность энергии, а
умноженные на с составляющие иш- плотность потока энергии, т. е. вектор
Умова. Этот вектор
S = [Е X Н] (33.27)
принято называть вектором Умова-Пойнтинга, или просто вектором Пойнтинга,
так как Пойнтинг впервые написал соответствующие уравнениям Максвелла
явные выражения для плотности потока энергии электромагнитного поля.
Деленный на с2 поток энергии данного вида равен потоку массы,
соответствующей этому виду энергии, а поток массы в свою очередь равен
количеству движения. Поэтому деленный на с2 вектор Умова-¦ Пойнтинга
равен плотности электромагнитного количества движения. Тот факт, что
электромагнитное поле песет с собой количество движения, проявляется в
силах светового давления, которое было впервые экспериментально
обнаружено в 1900 г. IL Н. Лебедевым!18]. Согласно формулам (33.25), если
в электромагнитном поле находится тело, то на площадку ds его поверхности
с нормалью по оси xt действует сила, составляющие которой равны
Fkdi = -\~Uikdc (?= 1,2,3). (33.28)
Рассмотрим абсолютно отражающее тело с плоским участком поверхности.
Пусть уравнение этого участка поверхности есть хг - 0,
§ 331
ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
143
а тело занимает область хх > 0. Предположим, что на тело падает плоская
волна вида
Добавляя к полю (33.29) отраженную волну, получаемую из предыдущих формул
заменой 0 на и -- 3 и g на - g, мы получим полное поле, удовлетворяющее
предельным условиям. Значения составляющих полного поля на поверхности
тела будут
где в функциях fug нужно положить хх - 0. Подставляя эти значения в
(33.25), получим для силы, действующей на единицу поверхности отражающего
тела, выражения
Таким образом, сила действует (независимо от направления падающей волны)
по направлению внутренней нормали к телу и представляет, следовательно,
нормальное давление (см. [12]).
Рассмотрим теперь другой случай. Пусть электромагнитное поле представляет
наложение волн всевозможных направлений, распределенных равномерно. Тогда
статистическое среднее значение произведений составляющих будет
Для пространственных составляющих тензора энергии мы будем тогда иметь
В этом случае электромагнитное поле производит изотропное давление,
равное по величине одной трети плотности электромагнитной энергии. Это
заключение имеет важное значение в теории черного излучения
где
(33.30)
(33.31)
F\ = t/n=^(/2 + ^)cos2&; F2 = ?/12= 0; F., = Un = 0. (33.32)
(33.33)
uik = ~ (E* + H2) 8* = 1 U00bik. (33.34)
144
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМ1
[гл. II
§ 34. Масса и энергия
Согласно принятому в механике словоупотреблению, масса тела есть мера его
инертности (инертная масса). С другой стороны, слово "масса"
употребляется в смысле способности тела создавать поле тяготения и
испытывать силу в этом поле (тяготеющая или весомая масса). Инертность и
способность создавать поле тяготения представляют совершенно различные
проявления свойств материи. То, что меры этих различных проявлений
обозначаются одним словом, однако, не случайно, а обусловлено тем, что
оба свойства всегда существуют совместно и всегда друг другу
пропорциональны, так что, при надлежащем выборе единиц, меру того и
другого свойства можно выражать одним и тем же числом. Равенство массы
инертной и массы тяготеющей есть факт экспериментальный, подтвержденный с
огромной степенью точности (опыты Этвеша). Самые же определения этих
