Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
определяется однозначным образом.
Однако наше требование, чтобы тензор массы был функцией состояния,
совершенно меняет положение вещей, и определение тензора массы становится
однозначным. В самом деле, предположим, что тензор Tik есть функция
состояния, так что он удовлетворяет всем поставленным условиям, включая
указанное наше требование. Если
даже тензор четвертого ранга Агт'пк тоже есть функция состояния, то его
вторые производные этим свойством обладать не будут, и прибавка их к Т1к
недопустима.
Мы приходим к выводу, что из совокупности физических условий тензор массы
определяется единственным образом *). Этот вывод становится особенно
существенным в теории тяготения, так как уравнения этой теории содержат
самый тензор массы, а не только его расходимость.
Когда мы писали уравнения движения в виде равенства нулю четырехмерной
расходимости, мы тем самым предполагали нашу физическую систему
консервативной. Сделаем одно общее замечание о системах неконсервативных.
Так как закон сохранения энергии имеет всеобщий характер, то под
пеконсервативными следует разуметь такие системы, в которых некоторые
виды энергии (например, тепловая) явным образом не учитываются. Если
имеется некоторый вид энергии, участвующий в общем балансе энергии, но не
включенный в тензор Tik, то расходимость этого тензора не будет равняться
нулю: в уравнениях (31.01) справа будет стоять приток этого вида энергии
и соответствующего количества движения в единицу объема. В дальнейшем мы
будем иметь дело только с консервативными системами.
§ 82. Примеры тензора массы
Мы рассмотрим теперь явный вид тензора массы в некоторых конкретных
случаях.
Мы начнем с простейшего случая "пылевидной" материи, т. е. такой, частицы
которой не взаимодействуют, причем, однако, их скорости распределены
непрерывно, так что существует некоторое поле скоростей. Для тензора
массы в этом случае мы введем особое обозначение P)ik. Обозначим через '/
инвариантную плотность массы, т. е. плотность, отнесенную к той системе
отсчета, относительно которой частицы данного элемента объема в данный
момент покоятся ("сопутствующая" система отсчета). Пусть и{ есть четырех-
*) Для ряда случаев, включая все случаи, рассмотренные в § 32 и 33,
единственность тензора массы при поставленных нами условиях строго
доказана В. М. Шехтером [п1.
§ 321
ПРИМЕРЫ ТЕНЗОРА МАССЫ
133
мерная скорость частиц. Положим
=-1 oVm*. (32.01)
По определению, есть четырехмерный контравариантный тензор. Его дважды
нулевая составляющая равна
0°° = ^ Р* С"0)9 = г • (32-02)
1 ~~1?
Эта составляющая должна равняться плотности всей массы, включая массу
кинетической энергии. Покажем, что это так и есть. Действительно, если
р* есть плотность массы покоя в сопутствующей
системе отсчета, то плотность массы покоя в лабораторной
системе
отсчета (относительно которой частица движется со скоростью v) есть
р = -7х=. (32.03)
У
Далее, если р есть плотность массы покоя, то плотность всей массы
(включая массу кинетической энергии) равна
/
1 -
V*
C'i
0". (32.04)
Эта формула для плотности соответствует обычной формуле
М = -(32.05)
У 1
для массы отдельной частицы. Другие составляющие тензора массы в
трехмерном написании равны
(-jo; = 1 _ 1-. (32.06)
с 1--^ f lA-il '
C'i V с-i
Шк = _L ?'ZiVk - J (32 07)
Vi •
С
с*
Составим теперь расходимость тензора 0,Л. Мы имеем
У <%!i 1. "< У ?. У "* *!i. (32.08J
rnd дхк ci дхк 1 ci jU дхк
k =о A=" k=0
134 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ (ГЛ. II
Для входящих сюда сумм мы введем особые обозначения. Положим
? = 02.09)
о
<32Л0)
fe = о
Эти формулы можно написать в виде
Эр dt
Q*= |+div(r.v), (32.11)
/да> , \л dui \ 1 da> /о о ,г>ч
(ж+1^) = -г=^=-ЙГ' (32Л2>
fc=1 |/i__
где ^ есть субстанциальная производная. Отсюда видно, что инвариант Q*
есть увеличение массы покоя в единице жидкого объема за единицу времени
*), а вектор w* есть четырехмерное ускорение, пространственные
составляющие которого совпадают, в нерелятивистском приближении, с
обычным ускорением. Таким образом
= + 02ЛЗ,
к- о
В силу уравнений движения это выражение должно равняться нулю. По мы
имеем тождественно
Л о
2 ";И'~с2; 2 (32.14)
¦г -0 ? = ("
Поэтому уравнение
QV + pW = 0 (32.15)
равносильно уравнениям
Q* = 0; ^ = 0. (32.16)
Первое из них представляет уравнение неразрывности, выражающее
неизменность массы покоя частиц. В данном случае масса покоя
частиц не меняется потому, что они не взаимодействуют и
их внут-
*) Под жидким объемом мы разумеем, как принято, объем элемента, жидкости,
составленного из одних и тех же частиц.
§ 32]
ПРИМЕРЫ ТЕНЗОРА МАССЫ
135
ренняя энергия остается постоянной. Второе уравнение (32.16) выражает
постоянство четырехмерной (а следовательно, и трехмерной) скорости. То,
что не взаимодействующие частицы должны двигаться с постоянной скоростью,
также, является физически очевидным. Так как уравнения движения - первого
порядка относительно входящих в P)ik величин р* и и*, то ясно, что тензор
