Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Фок В.А. -> "Теория пространства, времени и тяготения" -> 46

Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.

Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения — М.: Технико-теоретическая литература, 1956. — 504 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaprostranstvavremeniityagoteniya1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 167 >> Следующая

[гл. и
производная, равная
<з°-оз>
к=1
Уравнение (30.02) принято называть уравнением неразрывности. Оно
выражает, как известно, закон сохранения массы.
Система уравнений (30.01) и (30.02) сама по себе еще не является полной;
она не позволяет, по заданным начальным и предельным условиям, находить
движение среды. Чтобы получить полную систему уравнений, нужно, во-
первых, выразить тензор напряжений через другие величины, как то:
деформации, скорости, давление, температуру, электромагнитное и другие
поля, и затем, если число неизвестных функций будет больше четырех [т. е.
больше числа уравнений (30.01) и (30.02)], добавить к уравнениям движения
ряд других уравнений, как то: уравнение состояния, уравнение притока
тепла, уравнения поля и др.
В дальнейшем мы ограничимся случаем консервативной системы при отсутствии
внешних сил.
Рассмотрим сперва упругую сжимаемую среду. Мы можем ввести тогда
потенциальную энергию II единицы массы среды и выразить тензор напряжений
через нее. Пусть а1, а.2, -переменные Лагранжа,
в качестве которых можно взять начальные координаты частицы среды.
Координаты частицы в момент времени t будут тогда
Xi = xt(av а.2, a,, t) (/= 1, 2, 3), (30.04)
и деформация среды будет характеризоваться совокупностью величин
= (30'05) i = 1
Потенциальная энергия П будет функцией от деформаций, причем, если
положить
Ш = Т9 S P"mdAmn (Р">П = РПШ)> (30.06)
т, п - 1
то составляющие тензора напряжений pik выразятся через коэффициенты Ртп
следующим образом:
ш, п~ 1
Из этих формул нетрудно вывести соотношение
8 3
<Ш /дП | V дП\ V dv, ,оп r\Q\
г = 1 i, t:=l
§ 30| ВЕКТОР ПОТОКА ЭНЕРГИИ (ВЕКТОР УМОВ.О 125
В случае жидкости
Pik~-~P<4k' (30.09)
где р- давление, так что тензор pik сводится к скаляру. В этом случае
уравнение (30.08) приводится, в силу (30.02), к виду
pf=-pnvv = f% (30.10)
и дает обычное выражение
n = J^ = J7-f (30Л1)
для потенциальной энергии единицы массы жидкости. В случае бесконечно
малых деформаций (обычная теория упругости) соотношение (30.08) также
легко проверяется непосредственно, без перехода к переменным Лагранжа.
Интересно сопоставить соотношение (30.08) с термодинамическим тождеством
з
du V1 dv} , n,(h
[JTt~ 2d + (30Л2)
г, А' = 1
в котором и - внутренняя энергия, - - энтропия и Т-температура. Для
изотермических процессов можно положить
ГГ - и - 7з = F, (30.13)
где F - свободная энергия, а для адиабатических
11 = м. (30.14)
Обратимся теперь к уравнениям движения. При помощи уравнения
неразрывности (30.02) можно три уравнения (30.01) написать в виде
dJWl + 2 Щ-к - Р*) = °- (30.15)
ft = l
Подобно тому, как уравнение неразрывности
1+2^ = " 00-02)
к=1
выражает закон сохранения массы, уравнение (30.15) можно считать
выражающим закон сохранения количества движения. В уравнении
неразрывности скалярная величина р есть плотность массы, а вектор с
составляющими рт>4 (г = 1, 2, 3) есть плотность потока массы. Подобно
этому, в уравнении (30.15) вектор рг/г есть плотность
126 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ [гл. II
количества движения, а тензор
•$;;< = р ViVk-pilt (30.16)
есть плотность потока количества движения. При этом вектор рг>4 входит
один раз как плотность потока массы и другой раз как плотность
количества движения. Подобно этому, величина Sik входит один
раз как г-ая составляющая потока pvk, а другой раз как й-ая соста-
вляющая потока pvt (напомним, что Sik = Ski).
Мы сейчас видели, что уравнение неразрывности и уравнения движения,
написанные в форме (30.02) и (30.15), могут быть истолкованы, как законы
сохранения массы и количества движения. Естественно попытаться написать в
аналогичном виде и закон сохранения энергии. Это было впервые сделано
Умовым, который еще в 1874 г. ввел важное понятие о потоке энергии [4],
[б].
Введем скалярную величину
•S =7ури'3 + рП (30.17)
и вектор с составляющими
з
Si = (у Р^ + рп) - 2 p.ikvk. (30.18)
к=1
В этих формулах П означает попрежнему потенциальную энергию единицы
массы. Очевидно, что в выражении для S первый член есть плотность
кинетической энергии, а второй член - плотность потенциальной энергии.
Таким образом, величина S есть объемная плотность энергии. Вектор S{,
который мы будем называть вектором Умова *), может быть истолкован, как
вектор потока энергии. В самом деле, используя уравнения движения,
уравнение неразрывности, а также соотношение (30.08), нетрудно проверить
справедливость равенства
s+is=°' <зол9>
г=1
которое и можно рассматривать, как выражение закона сохранения энергии.
Заметим, что если даны уравнения движения (30.15), то лишь одно из
уравнений: уравнение неразрывности (30.02) или уравнение потока энергии
(30.16), будет независимым; другое получится из него и из уравнений
движения. Вместо уравнения неразрывности или /рав-
Рассмотренные Умовым выражения для S и S4- отличаются от приведенных
здесь отсутствием членов с потенциальной энергией. Поэтому в правой части
соответствующего соотношения Умова стоит не нуль, а взятое со знаком
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed