Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
т. е. при х0 - х1 = х2 = х.л - 0, будет и = 1; этого
можно
всегда достигнуть изменением масштаба для /4 или для хк. При таком
условии будет
з
В= 1; С=^ег4 (А-38)
г=0
и следовательно
3 3 3
и = 1 - 2 2 ^ ^ ¦ (А.39)
*=о *=о г=о
Заменяя в (А.04) величины <рй их выражениями
ик . да
480 ДОБАВЛЕНИЕ А
будем иметь
а 2 -it- са.41)
т - 0
Если и имеет вид (А.39), то условия интегрируемости системы (А.41) будут
выполнены, и функции /i вполне определяются значениями их и их первых
производных в начале координат. Пусть эти значения равны
= (Ц)0 = №- (А.42)
Так как в начале координат и= 1, то уравнение (А.37) дает
з
2 eiaikail ~ eAl- (А.43)
i=0
Положим теперь
fi = "" + 2 erairfr- (А-44)
r= о
Вследствие (А.43) эти уравнения могут быть решены относительно функций
fr, которые выражаются линейным образом через /{. Очевидно, что функции
/г удовлетворяют той же системе дифференциальных уравнений, как и /{; для
системы (А.41) это вытекает из линейности уравнений; для системы (А.37)
это вытекает из соотношений (А.43). Но начальные условия для fr будут
вида
(/г)о = 0; (дз^)о - Ьгк- (А.45)
Таким образом, найдя решение системы (А.41) с начальными условиями
частного вида (А.45), мы получим по формуле (А.44) самое общее решение
этой системы.
Систему (А.41) можно написать в виде
РФ-ЛЛ- + ' (А.46)
дхкdxi J дхкдхх 1 охт
т=0
и вследствие (А.33)
д°'(и./ф "
Иь = 0
(А.4Т)
Иь = 0
Положим здесь
А = -- (А-48)
J * ft
К ВЫВОДУ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 4g j
Используя (А.34), мы получим
дхк дхг = е^кг ¦ 7Г (~ 2CFi + ^ • (а-49)
т = 0
Рассуждая гак же, как при исследовании уравнения (А.28), получаем
dJCfcdJCj ^ 2С*е>$Ы' (А -50)
причем
з
- 2C/7i4-^]emam^ = 2Cia. (А.51)
Из (А.48) легко видеть, что начальные условия (А.45) для /J приводят к
условиям того же вида для 7^. Уравнения (А.50) вместе с начальными
условиями дают
з
Fi = Q "S е*4 -М*. (А .52)
й=о
Подстановка (А.52) в (А.51) позволяет определить значения постоянных Cit
а именно
Ct = - at. (А .53)
С этими значениями постоянных уравнения (А.51) приводятся к тождеству.
Следовательно, мы имеем
Fi = Xi-"iSeft4 (А.54)
з
2
h-0
3
2
f =----------5-----------------...в-----7 • (A-55)
1-2 2 ViS eix~i
k = о ft=0 !=o
Мы приходим к следующему окончательному выводу.
Самый общий вид преобразования (А.01), удовлетворяющего условию (б) или
(б'), получается из преобразования
** = -
1 -2 2 екакхк + 2 ека12 eix\ к=0 к=0 1=0
к=° _ (А.56)
482
ДОБАВЛЕНИЕ А
в соединении с преобразованием
з
x'i = ai + 2 ekaikx*k, (А.57)
& = 0
где коэффициенты aik удовлетворяют условиям (А.43). Кроме того, возможно
изменение масштаба.
Преобразование (А.57) есть обычное преобразование Лоренца. Преобразование
же (А.56) носит название преобразования Мебиуса. Оно обладает многими
замечательными свойствами, на которых мы, однако, останавливаться не
будем.
Для нас важно отметить, что требование сохранения вида уравнения фронта
волны [условие (б')1 само по себе еще не приводит к преобразованию
Лоренца, так как допускает еще преобразование Мебиуса. Чтобы освободиться
от преобразования Мебиуса, можно дополнительно потребовать, чтобы
конечным значениям первоначальных координат соответствовали конечные
значения преобразованных координат. Это дополнительное требование
выполняется только если все постоянные ак в преобразовании Мебиуса равны
нулю, в результате чего оно приводится к тождеству. Вместо этого
дополнительного требования можно принять другое, а именно наложить
условие сохранения прямолинейности и равномерности движения [условие
(а)]; мы так и поступали в тексте. Каждое из этих дополнительных
требований приводит однозначно к преобразованию Лоренца (и к возможному
изменению масштаба).
Существенно также, что требование конечности координат относится ко всему
пространству-времени в целом, тогда как условие сохранения
прямолинейности и равномерности движения является строго локальным *).
*) Рассуждения и выводы этого Добавления примыкают к результатам Вейля
[7].
Добавление Б ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТЕНЗОРА ЭЙНШТЕЙНА
а) Преобразование тензора кривизны второго ранга *). Мы начнем с
преобразования ковариантного тензора кривизны второго ранга R^t и
покажем, что в нем можно выделить члены, содержащие оператор Даламбера от
одноименной компоненты ga., фундаментального тензора. По определению мы
имеем
где, согласно (44.08), тензор кривизны четвертого ранга равен
[эта формула отличается от (44.08) только наименованием значков].
Следовательно,
В формуле (Б.03) первый член уже имеет вид оператора Даламбера от gF,.
Остальные члены могут быть преобразованы так, что вторые
*) См. также работы де Дондера [ш] и Ланчоса [17].
Rpl - g ^Rv-Ч, Pv>
(Б.01)
Мы положили здесь для краткости
(Б.04)
где, в соответствии с обозначением (41.15),
(Б.05)
484 ДОБАВЛЕНИЕ Б
производные от фундаментального тензора будут входить только
через посредство первых производных от величин Гр. Для выполнения
преобразования нам понадобятся формулы:
