Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Добавление Г
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ФРОНТА ВОЛНЫ
Если
u)(x0, xlt х2, х3) = 0 (Г.01)
есть уравнение движущейся поверхности фронта волны, то функция ш
удовлетворяет, как мы знаем, уравнению в частных производных
?•^0)3(03 = 0, (Г.02)
где мы положили для краткости
"¦ = ?• ^Г-03)
Рассмотрим следующую задачу: определить вид волновой поверхности в момент
времени х0 > 0, когда задан ее вид в начальный момент времени. Подобную
задачу мы решали в § 4 для случая евклидовой метрики и галилеевых
координат; мы рассмотрим ее теперь для общего случая.
Вид волновой поверхности в начальный момент времени может быть задан
уравнениями
*i =Л(". <9. \
x.2=f2(u, v), | при хо=0. (Г.04)
*з = /з(и> v) >
Эти уравнения могут быть написаны в более симметричном виде: *"=/"(">
(<х = 0, 1, 2, 3), (Г.05)
где
/о -0- (Г. 06)
Вместо начальных данных, относящихся к моменту времени х0 = 0, можно
рассматривать данные Коши, относящиеся к некоторой гиперповерхности;
тогда функция /0 уже не будет тождественно равняться нулю.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ФРОНТА ВОЛНЫ
497
Подставляя выражения (Г.05) для координат в уравнение (Г.01), мы получим
тождество относительно и, V. Дифференцируя это тождество по и и по V,
получаем два соотношения:
".Sr = °- <гда)
Присоединив к ним уравнение фронта волны (Г.02), мы можем определить из
этих трех однородных уравнений начальные значения четырех величин (о0,
о)2, ш3 с точностью до общего множителя.
Обозначая эти начальные значения ноликом сверху, мы будем иметь
о>(r) = л<ра(и, v)\ Х = Х(и, v), (Г.08)
где <ра - известные функции, а X - произвольная функция от и, v. Следует
заметить, что отношения величин ш(r) получаются не вполне однозначно: для
них возможны два значения, вследствие того, что уравнение фронта волны
(Г.02) квадратично относительно <i>a. Для однозначного определения этих
отношений необходимо еще указать, какое из двух возможных направлений
распространения волны имеет место.
Чтобы показать, что левые части уравнений (Г.05) представляют начальные
значения координат, мы снабдим их ноликом сверху и перепишем в виде
¦*>)• (г-09)
Возьмем точку на начальной волновой поверхности (всякой такой точке
соответствует определенная пара значений и, v) и рассмотрим луч,
проходящий через эту точку. Как мы видели в § 38, дифференциальные
уравнения луча представляют уравнения Гамильтона, соответствующие
уравнению Гамильтона - Якоби (Г .02). Таким образом, согласно (38.39),
уравнения имеют вид:
Ч; ^ = -(ГЛ0)
В § 38 было показано, что эти уравнения равносильны уравнениям
геодезической линии нулевой длины.
Для луча, проходящего через точку (и, V), начальные значения переменных
ха и равны соответственно (Г.09) и (Г.08). Интегрируя уравнения (Г. 10) с
начальными значениями х(r) и ш(r), получим:
*" = *"(/>: х°о' ХЬ Х2* х1' "о- "?• "2- "J)- ) (Г ш
<оа = о>,(р; X", х(r), X(r), х(r); а>(r), а>(r), а>.(r), а>(r)). /
Подставляя сюда начальные значения (Г.09) и (Г.08), получим выражения
вида
*. = р"(Ч>. ". "). 1
<"" = и, V). j
498
ДОБАВЛЕНИЕ Г
Так как уравнения (Г.10) не меняются при подстановке:
- Аи>"' Р' - КР<
(Г. 13)
где к- постоянно вдоль луча, то функции Fa и Фа зависят не от к и р в
отдельности, а только от произведения кр.
Уравнения
Х* = РЛР', и. V) (г-14)
представляют, в параметрической форме, уравнения движущейся волновой
поверхности. Исключив отсюда переменные р', и, v, можно получить
соотношение между четырьмя координатами (x0, xt, х2, х3), которое и
представляет уравнение волновой поверхности в форме (Г.01).
Доказательство приведенных здесь формул и соотношений можно найти в
курсах дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка
(см., например, [8]).
В качестве простейшего примера рассмотрим уравнение
- ((r)? + (r)2 4-(r)D = °
при начальном виде волновОЙ поверхности
z=/(x, у) при / = 0.
(Г.15)
(Г.16)
Здесь прямоугольные координаты х, у играют роль параметров и, V.
Уравнения (Г.07) напишутся:
(Г. 17)
где fx и fy - частные производные по х и у получаем одно из возможных
решений:
ш0 = кс,
_________kfx
1_ УТТЛ+7Г
Afy I
0,2 ~
Из (Г.15) и (Г.17)
Vl + /* +/и
(Г.18)
Другое решение получится из (Г.18) изменением знака квадратного корня. В
формулах (Г. 17) и (Г.18), строго говоря, мы должны были бы писать ш(r)
вместо %, но мы опускаем нолик сверху вследствие того, что в данном
примере величины вообще постоянны.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ФРОНТА ВОЛНЫ
499
Решая уравнения
dx0 1
dp с2 т°'
dXj
dp
(*= 1. 2, 3)
(Г.19)
и полагая, что при t - 0 будет и р - 0, получим
¦ t-.
Шо'
С2 Р>
¦XI
ЩР
(i= 1,2,3). (Г.20)
Подставляя сюда величины ю. из (Г.18) и 'выражая параметр р через t,
будем иметь для первого решения:
" _ " I ctfx
¦У +
Vi+fl+f^ '
Ctfy
У^ +/ж + /^
х8 = /(х, у)-
ct
(Г.21)
У1 +
Для второго решения (с противоположным направлением распространения)
будем иметь:
ct/x
Чг '
х, = х-
У^+fl + fy '
Ctfy
У* + fx+fy *8 =/(¦*< У)
¦у-
(Г.22)
У^+fl + fy
В частности, если мы возьмем в качестве начальной волновой поверхности
