Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
= (Б.06)
<Б07>
Г- -(Б. 08)
V - g ах$
уже выведенные нами в § 41. Из этих формул следует
г-=*',йт-тед?г!- <Б-09>
Дифференцируя (Б.06) по получим
I [g (- g) dg*?
дхц дх^ дх^_ дх., дх., дх^ '
(Б. 10)
Заметим, что вследствие симметрии выражения (Б. 10) относительно р и v,
мы имеем
dga? dg,p
дх., дХу. дх^ дх.,
(Б. 11)
Дифференцируя выражение (Б.09) по х , будем иметь
^ &g(tm) _ 1 & lg (- g) ¦ dg*? dgm " -
° dXp dxp 2 dXp dx., dx^_ ' dx^_ dx^ ' \ ¦ )
d &
В последнем члене правой части мы можем заменить величину -~^на
ОХ^
2 \<Ц, i,-"? • 2 dxv ' (БЛЗ)
где Г,, ap-обычные скобки Кристоффеля первого рода (38.28). Формула (Б.
12) напишется тогда
<^?va________1 & lg (- g) дТч i dg"? dga? dg"?
dx.L dxv. 2 dXp dx., dx^ ' 2 dx^ dxw ' *¦ dx'
Переставляя здесь вначки p. и v (а также значки суммирования а и $ в
левой части), можем написать
р 1 ^lg(-jr) <*iy | 1 Wdgap
(tm) dx^ dxa 2 dXp dx., dx" ' 2 dx^ dx^ ~T~ ь ^ 1 •
j
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТЕНЗОРА ЭЙНШТЕЙНА 485
Таким образом, входящая в (Б.03) множителем сумма выражений (Б.10),
(Б.14) и (Б.15) равна
"В , lE&p ^g.m л
¦dx[L дх., дх^ дХр дх., дха I
/дТу dl\\ dg*V dg*t
S
wvy.vv., l/^vp l/^V.,l/^0
= ~(^ + ^J+r^ ЙГ + IV,*?^; (Б.16)
вследствие (Б.11) остальные члены здесь сокращаются].
Введем обозначение
1 /ЙД Й\Л
г,.= 2(^ + ,-)-ВД. (Б-17)
Величина Г^, составлена по аналогии с полусуммой ковариантных производных
от вектора, хотя Г., не есть вектор. Вследствие (Б.16) выражение (Б.03)
для Rнапишется тогда:
R =z-g"? dgv¦'---------Г 4-
дх"дх?
+ i+т lV. •? Ш~ g"4'°- (Б-18)
Для упрощения выкладок, связанных с преобразованием членов с первыми
производными, мы будем пользоваться не только обозначениями Г,, а? и Га?
для обычных скобок Кристоффеля, но и обозначениями
if = g-VT,, (Б. 19)
гр. = = рз (Б.20)
для соответствующих величин с поднятыми значками. Заметим, что величина
Г1'-' ^ равна
<Б-21>
Рассмотрим выражение
4-=щ- Й)- г*г, й1':.- <Б-22>
последний член которого совпадает с последним членом в (Б. 18). Написав
его в виде
•V = Г'Г IV Л...) • (Б.23)
подставим сюда
-^ = Г,,,3 + Г^. (Б.24)
486
ДОБАВЛЕНИЕ Б
и затем воспользуемся равенством
-Й?-Г"" = г",.. (Б.26)
Мы получим тогда
Ла" = (Г,, ,в1\, ра + Гц., 0р . (Б.26)
Применяя обозначение (Б. 19) и переименовывая значки, можем написать:
= + (Б.27)
Так как коэффициент Г? здесь симметричен относительно аир,
мы можем множитель при нем заменить его симметричной частью, 1 dga$ dgp
которая равна Ydx' т же пРичине мы можем заменить выражением (Б. 13).
Сделав это, получим
Л ____ р"Р I ^ р*Р d g,, , р"Э р по,
- 2 J-1' дх + 2 11 дх, "I 11 *'"?¦ (Ь.2о)
Г '
Но, как легко проверить,
Поэтому
paft dgap dg ft
(ь-29)
л L р dga? 1 р dga9 I р*Рр /г- ог\\
Лр, - 2 Г,, а?, дх^ 2 Гр.. аЧ дх> + I р 1","р. (Ь.ЗО)
Приравнивая выражения (Б.22) и (Б.30) для А , получаем соотно-
шение
-L р " I___1_ р dga9___о-аРр р3
2 iv' дхл + 2 дх, ? UupJ-v,
р"Рр " a-*? ГБ 311
- lp.lv, аВ 6 6 д " > (D.OI)
которое позволяет написать выражение для R в следующем окончательном
виде:
П ' "а? ч т, "В со dgu.a dgp, ^
^=2* dJ^-vr-e е9 щ-згл + 1"т''* { }
Отсюда уже легко получить формулу для контравариантных составляющих
тензора кривизны второго ранга.
Дифференцируя соотношения вида (Б.07), нетрудно вывести формулу
<%р5 " / dg,^ dg,р dg^ dg,р ч
Su.*Si? дх,, дх, ~~ дх, дх, & \ дх, дх, дх, дх, ) '
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТЕНЗОРА ЭЙНШТЕЙНА 487
Используя эту формулу, можно написать /? в виде:
Я,, = - - r,v + Г?Г,, (Б.34)
Поднимая затем значки f и v, получаем для Rtlv следующее простое
выражение:
nH-v ___ ^ "a?J d^g^'1 ТЛР-V | gc3t-,v /г,
R - 1 +Г Irf- (Б-30^
Величина Г*1'' получается из Г^., поднятием значков по формуле
(Б.36)
и может быть выражена непосредственно через величины Га, определяемые
формулой (Б.08), а именно:
"ш)
б) Преобразование инварианта. Составим теперь инвариант тензора
кривизны
R = g^- (Б. 38)
Мы имеем
я--!rb.K^-r+i?iV <Б39>
где через Г обозначена величина
r = (Б.40)
Используя формулу
(Б.41)
дх, дх" '
мы получим из (Б.37)
Г = -U А Y* (Б.42)
дх, 1 2 дх"
и вследствие (41.16)
Г - - l_^Y=2lSl. (Б,43)
V- g 4.V, 4л..
Дифференцируя формулу (Б.41) по Хр мы получим аналогично (Б.10):
_ _ д'г <8 (- g) __ (Б 44)
дхг1 дхр дха дхр дха дх-р
Подставляя (Б.44) в (Б.39), будем иметь:
1 ", *"lg(-?) , 1 *dgr>dga4
488 ДОБАВЛЕНИЕ Б
Мы видим, что вторые производные от фундаментального тензора входят в
выражение для R только через посредство вторых производных от
lg(-g), а также через посредство величины Г. Члены
с первыми производными можно преобразовать при помощи соотношения
га3г" . 1 1 pv ...
Г, Га?+ 2 g дх' - дх^ - 2 га3 дх^ , (Б.46)
которое легко выводится из формулы
г"3 _ _1_ dg^_ _ 1 / з dg?* , " ^3\
v "2 dx, 2^P'\^ dx5 /' (Б-47)
В результате получается
л__ 1 ""э ^3lg(- g) v I 1 rv dg*?>
^ d^dl "d3^- (Б-48)
Это выражение можно написать в виде
я = г' -¦&, ' ~14 - г - ¦L- <Б 49>
где______________________________________________________________________
