Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
__________________________
(Б.50,
Припоминая формулу
пу = ^д?щ~т*Ё: <Б-51>
для оператора Даламбера от некоторой функции у, мы можем написать ____
Я = ? (ig V- g) - Г - L. (Б.52)
Разумеется, величина y = ]g]/r- g не есть скаляр, но формально оператор
(Б.51) может быть применен и к ней. Заметим, что как первый, так и второй
член в (Б.52) представляют деленную на ]/-g сумму производных от
некоторых величин по координатам. Это обстоятельство имеет значение при
формулировке вариационного начала для уравнений Эйнштейна, причем
определяемая формулой (Б.50) величина L играет роль функции Лагранжа.
Функция Лагранжа L может быть написана, помимо (Б.50), в различных других
видах, из которых укажем следующие:
i = <Б-53>
а также
L = Г^Пз -Г^з). (Б.54)
Последняя форма наиболее часто встречается в литературе.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТЕНЗОРА ЭЙНШТЕЙНА 489
в) Преобразование тензора Эйнштейна. Предыдущие формулы позволяют
написать выражение для тензора Эйнштейна
0^ = /Г1 - ^g^R, (Б.55)
расходимость которого равна нулю. При этом окажется, что вторые
производные от фундаментального тензора входят в только
через посредство вторых производных от величины У-ggK'1 и через
посредство первых производных от Г\ Поэтому удобно ввести
особое обозначение для умноженных на У-g контравариантных компонент
фундаментального тензора.
Мы положим
дрт = У- ggx1. (Б.56)
Формула (41.16) напишется тогда:
Г = -^=*=-. (Б.57)
v-g дхц
Для дальнейшего удобно преобразовать все формулы так, чтобы в них входили
только производные от величин ф1Л1. При выполнении преобразования в наши
формулы войдут производные от величины
У- V-(Б-58)
ксторые мы будем обозначать через
1 = ТГ- <Б'59>
Согласно (41.07), мы имеем
Л = Г". (Б.60)
Для величин, получающихся из уа путем поднятия значков, мы введем
обозначение
y=g°?yr (Б.61)
аналогичное тензорному (хотя, конечно, у" не есть вектор). Мы имеем также
/ = Г?, (Б.62)
где имеет значение (Б. 19). Вторые производные от у мы будем обозначать
через yg:
.. d2\g~]/~ g ГБ
У*- дхГдх~- (Ь-М)
Согласно формуле (Б.21), величины Г|А'а'1 представляют билинейные функции
от составляющих gr-4 и от их первых производных
32 Зак. 485. В. А. Фок
490 ДОБАВЛЕНИЕ В
Подставляя б эту формулу выражения для g^4 через gi*-\ мы получим
+ (Б.64)
где
+ (Б.65)
A,i'а? = J (у"ё^ + /?¦" - У'ё^)- (Б.66)
Соответствующие величины с опущенными значками мы будем обозначать через
Пар и А?р.
Вычислим определитель, составленный из g^v
Det = СV- gf Det g^ = g2 • j = g- (Б.67)
Таким образом, определитель, составленный из g^v, равен опреде-
лителю, составленному из g^,:
Det дк--' = Det g^ = g. (Б.68)
Из формулы (Б.66) получаем
g^A* •!> = -/, (Б.69)
а так как
g.sF'af' = rL. (Б.70)
ТО
= + (Б.71)
Последнее выражение равно также
1*+/ = --7?7- (Б-72)
Переходим к преобразованию тензора Эйнштейна
G^=R^--lg^R. (Б.55)
2
Исходными формулами являются здесь
RT = - \ g* - Г' + Г* а?т:?, (Б-35)
а также формула (Б.49) для R, которую мы напишем в виде
R = g"?y^ - T*ya - T - L. (Б. 73)
Вторая производная от величины равна
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТЕНЗОРА ЭЙНШТЕЙНА 491
И, следовательно,
=V~e(г? ~ёщ+2-r Е+р'гЫ+g*y*r)•
(Б.75)
С другой стороны, мы имеем
~ ig^R = - т АуЦ+Ыз) +
+ у /V (Г"л + Г + L) - г117 + г* (Б.76)
Из сравнения последних двух формул мы видим, что, если не считать
членов Г и Г11", в них входят одни и те же комбинации
вторых
производных. Вычисление дает:
av ,
2S ^ 2 Y~gB дхидх9 1
+ } g*' (у,У + Г"л + r + 7)-r;lv+/^-b У' "рг:р. (Б.77)
Как всегда, наиболее сложным является преобразование членов с первыми
производными. Мы имеем:
F" ^ = IF' + Л!>" + A4' ^DSp -f- А^' (Б.78)
Используя (Б.71), получаем:
Л11' + Av' "эП?з = ув (IT" + IF'Vf>) - \ (/Г +/F1)-//,
(Б.79)
и, вследствие
nv, " + д., vp = 1 й"р д?_ = _ rp д?_ _ ^ ( {Б Щ
= -У У Уа.У - 4 ОГ' + А'Г11) - у"у ¦ (Б. 81)
Далее
А* "Х = ±у*у +1 gs-лУ • (Б.82)
Отсюда
у а?г:; = iF' аРШз-у ^-
~-^g^y"y-^y*y - уО^Г+уГ'*). (Б.83)
Это соэтношение позволяет переписать формулу (Б.77) в виде
/г-I ff'R = --Urp/T- + П1*' -1// +
2 2 у - g дхъ дхр 2
+ т у ^ (г л + Г) - УУ-|(УГ + /П- (Б.84)
32*
492 ДОБАВЛЕНИЕ Б
Положим здесь
ЕГ = Г1' + 1 f/Г + /F), (Б .85)
B = gv.JET = г + гу (Б.86)
и выразим в члене с оператором Даламбера величины через д"Р. Тогда
формула для тензора Эйнштейна напишется:
RT - - = J- а°Р -$*-¦ 4-
^ 2 (r) 2^ И <?JkTp ^
+ П*1' 1 // +1УI +1 ^v5 - ЕГ. (Б. 8 7)
Поскольку определитель g выражается, согласно (Б.68),
непосредственно через g^v, можно считать, что в формуле (Б.87)
все члены,
кроме L, выражены через величины д"Р и их производные. Нам остается
выразить через те же величины также и функцию Лагранжа L. По определению
(Б.50) мы имеем:
L = -iTl^~ry^ <Б-88)
Подставим сюда
К? = п:?+А:?, (Б.89)
где, согласно (Б.66),
= ^/зУ- (Б-90)
Пользуясь формулой
Л^Р = -Гуа, (Б-91)
легко выводимой из (Б.90), получим
1 = -Уж;У1"Л- (Б-92)
Выразив здесь через
' g=^(?+r*.) (В.93)
и используя формулу (Б.71), которую можно написать в виде
