Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
поверхность шара радиуса а и положим
/(х, у) = Yа2 - х2-_у2, (Г.23)
мы будем иметь из (Г.22):
Х\ = х(\ +^),
х2 = ^(l +¦?)'
*8 = /a"-x"-^(l + -?) и после исключения х и у:
*{ + Х1+Х1 = (в + С/)9, т. е. поверхность шара радиуса /? = о-)-с^, как и
следовало ожидать.
(Г.24)
(Г .25)
Добавление Д
НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЕВКЛИДОВОСТИ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
Для трехмерного пространства тензор кривизны второго ранга /?й обладает
тем же числом компонент (а именно, шестью), как и тензор кривизны
четвертого ранга Rilt тк. Поэтому следует ожидать, что не только Rik
выражается через Ru< по общей формуле
но и, обратно, Rit' ^ выражается через Rik (значок а при компонентах
трехмерного тензора мы здесь опускаем).
Чтобы найти эти выражения, введем, подобно тому, как это мы делали в § 22
и § 37, антисимметричную систему величин г^н, причем э123 == 1, и
построим антисимметричный псевдо-тензор с ковариантными компонентами
Для преобразований между координатами xv х.2, хЛ с положитель ным
якобианом
(Д.01)
Ei jh - a
(Д.02)
и контравариантными компонентами
(Д.ОЗ)
(Д-04)
мы имеем
(Д.05)
и, следовательно,
(Д.06)
на основании правила составления определителей, что и доказывает, что для
таких преобразований величины Е^н ведут себя как кова-риантный тензор. По
правилу составления определителей мы можем
УСЛОВИЯ ЕПКЛИДОВОСТИ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
501
также написать:
Еша
(Д.07)
где Epqr имеет значение (Д.03). Тем самым доказано, что Epqr есть
контравариантный псевдо-тензор, соответствующий Eikl. Отсюда легко
получаются формулы
которая доказывается путем следующих рассуждений. Обе части ее отличны от
нуля только когда р ф q и г Ф s, причем пара чисел (р, q) должна
совпадать, с точностью до порядка, с парой чисел (г, s). При этом, если р
= г, q = s, то обе части равны -f-1, а если р = s, q = г, то они равны -
1. Следовательно, обе части совпадают при всех возможных значениях
значков, и формула (Д.11) доказана.
Чтобы найти выражения для RUi ^ через Rik, введем контравариантный
симметричный тензор второго ранга АРЯ по формулам
и затем установим связь между Apq и Rpq. Формулы (Д. 12) могут быть
написаны в виде равенств:
Подставляя (Д. 12) в (Д.01) и пользуясь (Д.09) и (Д.11), получаем:
(Д.08) (Д.09) (Д. 10)
Отметим также важную для дальнейшего формулу
(Д.11)
(Д. 12)
(Д. 13)
(Д-14)
Эти равенства непосредственно выражают Apq через Rn тк
Rik - 41 (dpifliq Gpqdik)'
(Д. 15)
и если мы положим
А = anApq
(Д. 16)
то будет
Rik - ^ ik &ik
(Д-17)
откуда
R = a^Riu = - 2Л,
СД-18)
502
ДОБАВЛЕНИЕ Д
а следовательно
Aik = Rik- "?Г aikR- (Д-19)
Таким образом, Aik есть просто трехмерный консервативный тензор.
Подставляя соответствующий контравариантный тензор в (Д. 12), получим
искомое выражение тензора четвертого ранга через тензор второго ранга:
Rn, тк = (Rm - J aMR) EpilEqmk- (Д-20)
Из полученных формул можно вывести следующее важное следствие. Мы знаем
(§ 42), что необходимым и достаточным условием приводимости заданной
квадратичной формы ds2 к форме с постоянными коэффициентами является
равенство нулю тензора кривизны четвертого ранга. Этот результат
относится, очевидно, и к чисто пространственной трехмерной квадратичной
форме
dl- = aik dxt dxk, (Д .21)
для приводимости которой к евклидову виду
dP = dx'* + dx* + dx'* (Д .22)
необходимым и достаточным условием является равенство
Ril, nik - Q' (Д-23)
где в левой части стоит трехмерный тензор. Но, согласно (Д.20), для
трехмерного пространства тензор кривизны четвертого ранга
выражается через тензор кривизны второго ранга. Поэтому необхо-
димым и достаточным условием евклидовости трехмерного пространства
является равенство нулю тензора кривизны второго ранга.
ЛИТЕРАТУРА
Классические работы
1. A. Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Korper. Ann. d. Phvs. 17,
891, 1905.
2. A. Einstein, Die Orundlage der allgemeinen Relativitatstheorie. Ann.
d. Phys., 49, 760, 1916.
3. H. A. Lorentz, Electromagnetic phenomena in a system movingvwith any
velocity smaller than that of light, Proc. Acad. Sc. Amsterdam, 6, 809,
1904.
4. H. Poincare, Surla dynamique de l'61ectron, Rendiconti del Circolo
Matematico di Palermo, XXI, 129, 1906.
Переводы этих работ - в сборнике "Принцип относительности". М. - Л.,
1935.
5. A. Einstein, The meaning of relativity, Princeton, 1955 (4-е изд.).
Русский перевод с 1-го изд. А. Эйнштейн, Основы теории относительности. 4
лекции, читанные в Принстонском университете. М. - Л., 1935.
Специальная литература
1. Э. Картан, Теория групп и геометрия (доклад на заседании Швейцарского
математического общества в Берне 7 мая i927 г.), перевод в сборнике "VIII
международный конкурс на соискание премии имени Н. И. Лобачевского".
Казань, 1940.
2. А. Д. Александров, О сущности теории относительности. Вестник ЛГУ, №
8, 103, 1953.
3. А. Д. Александров и В. В. Овчинников, Замечания к основам теории
относительности. Вестник ЛГУ, № 11, 95, 1953.
4. Н. А. Умов, Избранные сочинения. Гостехиздат, 1950.
