Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
УШ3 = Г + /, (Б.94)
получаем окончательно:
L = --±= (Б.Э5)
2 у - g дх" 2
Здесь под знаком производной стоят уже только величины д*Р.
Добавление В
ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ДАЛАМБЕРА
Обобщенное волновое уравнение (уравнение Даламбера) имеет вид:
в котором величины и g имеют обычные значения.
Задача Коши для уравнения (В.01) состоит в определении функции ф по
заданным на некоторой гиперповерхности
значениям ф и Мы предполагаем, что уравнение гиперповерх-
ности (В.03) может быть решено относительно х0 и что поэтому
Нас интересует возможность решения задачи Коши в некоторой области,
достаточно близкой к гиперповерхности (В.03). Чтобы вычислить значения
функции ф в этой области, нужно иметь возможность вычислять производные
от ф в любой точке гиперповерхности. Легко видеть, что первые производные
вычисляются непосредственно из начальных данных. Для вычисления же вторых
производных необходимо пользоваться волновым уравнением. При этом
возможность определения вторых производных будет зависеть от вида
гиперповерхности, к которой относятся начальные данные. Если
гиперповерхность такова, что отнесенные к ней начальные данные не
определяют значения вторых производных, то она называется
характеристической. Характеристическая гиперповерхность обладает тем
свойством, что на ней возможны разрывы вторых производных. Поэтому
движущаяся поверхность фронта волны и должна быть характеристической.
? Ф = 0,
(В.01)
где ? ф есть выражение
(В.02)
О) (лс0, хг, х2, х3) = const
(В.ОЗ)
494 ДОБАВЛЕНИЕ В
Рассмотрим сперва простейший случай, когда начальные данные относятся к
гиперповерхности х0 = const, т. е. к начальному моменту
времени. Из заданных значений ф и непосредственным дифференцированием
получаются все первые производные, а также вторые производные вида
Sr.' т?к ('.*=1.2.3) (В.05)
(точнее, значения этих величин при заданном х0). Что касается второй
производной по сс0, то она должна вычисляться из волнового уравнения. В
развернутом виде волновое уравнение имеет вид
*00 ??+...=0. (В. 06)
дх0
где многоточием обозначены члены, содержащие остальные вторые
производные (В.05), а также первые производные, которые известны.
Так как по свойству фундаментального тензора величина g-00 никогда
не обращается в нуль (она всегда положительна), то уравнение (В.06)
может быть всегда решено относительно остающейся второй произ-^2ф
водной -V. Это значит, что если переменная х0 имеет характер вре-дх-0
мени, то гиперповерхность xQ = const не является характеристической.
Рассмотрим теперь общий случай гиперповерхности (В.03). Введем новые
переменные
Хо = <"(х0, xv х2, xs); x't^x^, х'2 = x2; x'g - Xg. (B.07)
Обозначая через <]/ величину ф, рассматриваемую как функция от
переменных х', х', х', х', будем иметь:
+ = ^ = (В.08)
дх0 дх0 дх0
и вследствие (В.04) задание ф и при ю = const равносильно заданию У и ^7
при х' = const. Из этих последних величин можно дх0
вычислить, подобно предыдущему, все первые производные, а также вторые
производные вида
-р^-7 (*,*=1,2,3), (В.09)
дх0 дх{ дхц дхк
тогда как вторая производная по х' определяется из волнового уравнения.
Преобразованный к новым переменным, оператор Даламбера
ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ДАЛАМБЕРА 495
будет иметь вид:
<ВЛ0)
где g'^ получается из по общему правилу преобразования тензора, и в
частности
/ПП дх'п дх' дш дш
* =Иг'!^ТГ,=Иг'ёГг!Т,- <в-">
Необходимо только помнить, что, поскольку новая переменная х'0
не обязательно имеет характер времени, неравенство g'm > 0 может не
выполняться.
Преобразованное волновое уравнение напишется:
r*L*L).*?+...=Ot (В. 12)
дх дх 1 дх'п
jj. V О
где невыписанные члены уже не содержат второй производной по x'at а
содержат только вторые производные вида (В.09), а также первые
производные. Значения всех невыписанных членов на гиперповерхности о) =
const можно считать известными из относящихся к ней начальных данных.
Вторая производная по х'0 остается неопределенной в том и только в том
случае, когда коэффициент при ней в волновом уравнении (В. 12) обращается
в нуль, т. е. когда функция ш удовлетворяет уравнению
^1гД = °- <в-13>
Это и есть уравнение характеристик для волнового уравнения (В.01).
Характеристики обобщенного волнового уравнения совпадают с
характеристиками общековариантных уравнений Максвелла, рассмотренных в §
46. Коротко (хотя не вполне строго) этот результат может быть обоснован
следующими соображениями. При условии = 0 из уравнений Максвелла вытекают
для потенциалов Ач уравнения, в которых высшие (вторые) производные
группируются в виде оператора Даламбера. Отсюда можно заключить, что и
характеристики общековариантных уравнений Максвелла имеют вид (В. 13).
Нестрогость этого вывода заключается в переходе от характеристик для
потенциалов к характеристикам для поля. Не представляет труда дать и
строгий вывод, оперируя непосредственно с составляющими поля, подобно
тому как это делалось в § 3 для декартовых координат в евклидовом случае.
