Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
X = f(t, x(t), u(t)), OfitaT, х(0) = х0, (5)
в правую часть которой входит искомая вектор-функция и(().
Управление системой состоит в выборе функции u(t), ограниченной условиями
u(t) Є и, V t Є [О, Г], (6)
где U — заданная область в r-мерном пространстве. В большинстве приложений она замкнутая, ограниченная и не очень сложной формы. Широко распространен простейший вид области U — прямоугольник:
uj Si Ui Si и+, г=1, 2, ..., г
(uj, и* — заданные границы изменения Ui).
Пусть задано управление и( •). Так обозначается точка функционального пространства, т.е. функция, взятая «целиком». Под u(t) мы теперь будем понимать значение этой функции в момент t, а под и — просто точку из r-мерного пространства. В теории управления имеют дело со всеми тремя объектами одновременно и их нужно четко различать, используя разные обозначения. Тогда задача Коши (5) интегрируется (мы считаем, что все условия существования и единственность для этой задачи выполнены). Таким образом, задание управления однозначно определяет состояние системы в любой момент времени.
Пусть определены функционалы от /'Дм(-)] (/ = 0, 1, ..., т). Цель управления состоит в том, чтобы выполнить условия /¦Дм()]^0, г =1,2, ...,т.
Этой цели нужно добиться самым экономным способом, т.е. нужно при этом получить
min F0[m(-)].
Функционал /'Ди(')] — это абстрактное обозначение алгоритма, позволяющего, коль скоро задано управление и(-), вычислить число F-r Конкретные формулы вычисления Fi могут быть самым разнообразными.
456
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
14. II
Ограничимся пока несколькими наиболее часто встречающимися конструкциями функционалов:
т
F[u(-)] = ^Ф[1, x(t), u(t)] dt, (7)
о
F[u(-)]~ Ф[х(Ґ)], (8)
где 7* — заданная точка из [О, Т]. Функции Ф, входящие в (7), (8), — заданные гладкие функции своих аргументов. Эти две конструкции представляют широкой класс функционалов, дифференцируемых в смысле Фреше (вопрос о вычислении производных Фреше был обсужден достаточно подробно в § 27).
Заметим, что любая гладкая функция от функционалов типа (7), (8) также приводит к дифференцируемому по Фреше функционалу, который может быть использован при формулировке вариационной задачи. Обозначение выражений в правой части (7), (8) через
F[m( •) ] оправдано тем, что именно и( •) является тем аргументом, задание которого позволяет (в принципе) вычислить значение F. Для
того чтобы это фактически выполнить, следует при заданном и(-)
проинтегрировать задачу Коши (5) (в общем случае только численно)
и, получив x(t), выполнить, например, интегрирование (тоже используя подходящий алгоритм приближенного вычисления квадратуры).
Перейдем к следующим двум важным конструкциям:
F[m(-)] = тахФ[ґ, *(*)], (9)
t
/¦[«(•)] == maxФ[ґ, x(t), «(*)]• (10) ;
t
Эти два функционала в общем случае не имеют производных Фреше, они (при сколь угодно гладких Ф) дифференцируемы лишь по направлениям в функциональном пространстве. Дифференцируемость функционала (9) зависит не от гладкости Ф, а от множества точек, на котором достигается максимум. Оно обозначается как
arg max Ф[г, х(г)]. t
Если это множество состоит из одной точки, функционал (9), как правило, дифференцируем по Фреше; если их хотя бы две, производной Фреше не существует. Для (10) ситуация осложняется тем, что значения u(t) на множестве меры нуль несущественны.
В терминах таких функционалов оформляются так называемые ограничения в фазовом пространстве. Пусть выбор управления u(t) стеснен еще и требованием x(t) Є G С RP, V t Є [0, Т], где G — заданная область в RP. Наиболее распространенным способом
ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
457
описания области G являются системы неравенств Ф-^(х) =S О (/'= 1, 2, /). Каждое такое неравенство может быть оформлено
как ограничение значения функционала типа (9). Функционалы типа (10) появляются таким же образом из требований {х(0> u(t)} SGC RP+r, V t Є [0, Т]. Существуют причины, оправдывающие выделение (9) из более общей конструкции (10). Мы их сейчас обсудим.
«Измеримое» управление. Для того чтобы задача оптимального управления была поставлена достаточно четко, нужно указать то функциональное пространство, в котором разрешается искать и( ¦ ). При этом следует учесть чисто теоретические аспекты с одной стороны (это пространство должно быть достаточно широким, чтобы в нем существовало решение задачи), и интересы практики — с другой (найденное оптимальное управление должно быть достаточно простой функцией, чтобы его можно было использовать при управлении данной технической системой, например ракетой). Удобным оказался класс измеримых функций. При этом не возникает трудностей при интегрировании системы (5). Теория, как известно, требует от f(t, х, u(t)) выполнения условия Липшица по х и довольствуется произвольной, в сущности, зависимостью от t.
Конечно, класс измеримых (т.е. произвольных) функций слишком широк, техническая реализация такого управления кажется нереальной. К счастью, ситуация здесь оказалась достаточно благоприятной: при решении прикладных задач оптимальное управление, как привило, оказывается не очень сложно устроенной кусочногладкой функцией. Поэтому термин «измеримая функция» практически означает, что никаких требований гладкости функции u(t) мы не ставим. В большинстве случаев достаточным был бы класс функций, имеющих конечное число разрывов. Между точками разрывов управление можно считать достаточно гладким. Правда, ни положения точек разрыва, ни их число заранее не известны.
