Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
^И-),Р]=<И*(1)]=0, / = 1,2,...,5.
Функции Ф' приведены в табл. 18. Эти пять функционалов дифференцируемы по Фреше. Таблица 19 содержит функции Ф'(дс) для функционалов типа
Г,[и(-), р] = max Ф‘[х(<)] «О, і = 6, 7, ..., 14.
16* *
468
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
Как это часто бывает, многие из приведенных условий ставятся на всякий случай. Заранее не ясно, нужно ли оптимальной траектории нарушать поставленные ограничения. Если в том или ином условии f‘[u( ¦), р] 0 реализуется строгое неравенство F1 < 0, то условие называют «пассивным». Оно может быть выброшено из постановки задачи без изменения существа дела. К сожалению, до решения задачи мы не можем выделить такие условия. Иногда условие в процессе поиска экстремума бывает то активным, то пассивным.
Процесс решения задачи показан в табл. 20, в которой приведены номер шага (итерации) v и значения некоторых функционалов Fr Из недифференцируемых функционалов показаны значения только четырех, оказавшихся активными (т.е. существенными). На нескольких первых итерациях активным было условие
Таблица 20
V F0 ?1 F5 *8 *п F14 К
0 21 3204 .57 1.03 2.62 -.047 -.9 -.46 -25500 -1.0 0,0,0,0
5 20.45 377 -.45 1.00 .65 .13 -.31 -.45 -45200 .49 0,0,0,2
10 20.86 441 -.39 0.65 .13 .014 016 -.33 35300 .22 1,0,0,2
15 21.02 23 -.011 -.008 .004 .0009 .001 -.19 79 .065 1,0,1,3
20 18.69 56 -.005 .02 .005 .007 .008 -.07 -81 .11 1,0,1,3
25 17.74 23 -.011 .008 .007 .006 .011 -.08 204 .03 3,1,1,3
30 16.95 28 -.010 .015 .007 .008 .008 -.05 1530 .07 3,1,1,4
35 15.88 31 -.012 .005 .007 .007 .026 -.003 1040 .09 3,1,2,4
40 14.75 32 -.012 .05 .006 .006 .019 .002 2160 .09 3,1,3,4
45 14.64 23 -.12 .004 .003 .007 .005 -.010 690 .05 3,1,3,4
50 14.46 23 -.013. .017 .006 -.0006 .023 -.016 1230 .105 3,1,3,4
55 14.59 7 -.006 .014 -.002 4-IO-5 4-Ю-5 -.03 197 .05 6,0,2,5
60 14.49 10 -.012 .07 .003 .0009 .0015 -.04 18 .09 7,0,5,6
61 14.48 12 -.012 .12 .002 .0006 .0001 -.04 116 .03 7,0,6,8
62 14.53 8 -.006 .036 -.001 .0001 3-Ю-4 -.04 55 .009 7,0,6,8
64 14.57 0 -.0002 2-IO-4 6-Ю-4 6'IO-5 .0018 -.04 113 .007 6,0,6,8
F9 «? 0, потом оно прочно перешло в разряд пассивных. Условие F13 ^ 0 стало активным только после 49-й итерации, в конце процесса выполнено условие F13 ^ 0.006. Последний столбец табл. 20 содержит четыре целых числа — это величины Ji, показывающие, сколько точек J1 используется для аппроксимации условия F .К 0 (для і = 8, 11, 12, 14).
§28]
ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
469
Естественно возникает вопрос: можно ли при F12 ~ 100, например, считать, что условие F12 «? 0 выполняется с достаточной точностью? Это, разумеется, зависит от того, какие значения для F12 считаются «средними», характерными. Обычно в содержательной постановке задачи условия формулируются в виде Fi =S Ci, где заданные значения Ci определяют, как правило, характерные значения для F1: малое значение для Fi — это значение, существенно меньшее значения Ci. Ради стандартизации постановки задачи все функционалы заменяются на Fi- Ci. О значениях Ci можно судить по значениям Fi в начальном приближении (v = 0). Видно, что для F2, F3, F4, Fs характерными являются значения порядка единицы, а для F12 — порядка IO5. С учетом этих значений и следует оценивать точность выполнения условий Fi^O для разных і.
О совместных ограничениях и и х. Как было сказано выше, для повышения гладкости функций, входящих в выражения для недифференцируемых функционалов, используется искусственный прием. Первоначальные управления объявляются фазовыми координатами, а новыми управлениями становятся их производные. Это делается для того, чтобы от функционала (10) (с явным вхождением управления в Ф) перейти к функционалу типа (9). Есть и другой способ, предложенный В. Г. Болтянским. Пусть в задаче поставлено условие Ф[лс(0, u(t)] ^0, Vt. При построении вариации управления мы должны использовать линеаризованное условие
Ф[*(0. м(0]+Фх6х(0+Фц6м(0<0, Vt (18)
(разумеется, на самом деле это условие нужно использовать не при всех значениях t, а лишь при тех, где Ф[х(і), ii(0] >-? (є як Фи 6м « Ф^. дх).
Условие (18) очень неудобно с вычислительной точки зрения, так как 6х(0 зависит не от du(t)ra от 6м( •) (от всех значений 6u(t') для Ґ < 0- Возникает идея как-то избавиться от 6x(t) и трактовать условие (18) независимо для каждого t (так же, как трактуются условия типа м(0 Є U, наиболее простые в данной задаче). Это достигается следующим образом. Будем искать вариацию управления в виде
6м(0 = 62(f) + С(0 6х(0, (19)
где 6х(0 — вариация фазы, вызванная полной вариацией управления 6м(-)> С(0 — некоторая подходящим образом построенная матрица.
470
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
Подставляя (19) в (18), получаем
ф[г] + фхМ а*(0 + фиМ 62(0 + ФИШ C(f) 6*(f) ^ о.
Здесь Ф[?] = Ф[х(0> u(t)] и т.п. Очевидно, поставленная цель будет достигнута, если в качестве C(t) взять решение матричного уравнения
Ф,М+Фв[*]С(0“0. (20)
В этом случае условия (18) превратятся в «локальные» (независимые при разных t) условия для &u(t):
