Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
т
+ J 1(Ч>. ^x-Jx Ьх) + (дх, Ч> + 7; 1^)] dt + (-ф, дх) IJ — (Ц>, дх) I ?+5.
*'+5 (23)
Так как в левой Засти соотношения (22) можно пренебречь величи-<*+ь
ной ^ (У, дх) dt = 0(||дм||2), то превращение (23) в (22) осущест-t'
вляется стандартным подбором правой части для сопряженного
444
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. и
уравнения. Мешает только одно слагаемое в (23): —(^> дх) | J-+5.
Мы уберем его за счет разрыва тр в точке /*.
Введем для возмущенной траектории обозначение y(t), v(t). Тогда с точностью до величин 0(||6м||2) имеем
х(Ґ + &)=х' + 6/(х% и*), х* = х(Г), um = u(f),
у(Г+ 6) = / + 6/(/,0, У* = У(П, Vt = Vitt).
Вычитая, получаем
6х(Г + 6) = 6х(0 + М/(/, Vt)-Jixt, Ut)]. (24)
Здесь мы неявно предполагали непрерывность управлений и, v в точке Ґ.
Используем связь 6 с 6х(0:
Giyitt + Ь)) =O = Giyt + 6-/(/,t;*)) = Gixt + 6х* + 6-/(/,г,*)) =
= Gixt) + Gxix*) 6x* + It-Gx(Xt) /ІГ, Vt).
Так как G(x*) =0, то
(G (х"), 6х’) (G (х”), 6ж*)
6= -¦
(Gx(Xt), f(yVt)) (Gx(Xt), /(х”, и”))
Второе равенство, конечно, неточное, но мы пренебрегаем малыми второго порядка, возникающими при замене у* на Xt и Vt на и*. Подставляя найденное значение 6 в (24), имеем
дх(Ґ + 6) = Ьх{П (ft - /2),
X* I
ще Z1 = /(x\ и*), f2 = fix",ut). Легко подобрать такой скачок
между величинами = ^(O и гр+ = т^(Г + 6), чтобы в первом порядке можно было уничтожить мешающие нам слагаемые в (23):
(Ч>+, 6x(f* + 6)) — (ijr, бх(О) = (г|>+ - -ф-, дх*) -
- ТсГ^Г (Л - /2. Ч>+) = - Ч»- - Gx, 6х*^
Из полученного выражения вытекает требуемый результат. Функцию ц>(/) следует взять как решение сопряженного уравнения
ч> + 7*Шч> = -П0, t є (f, Т),{
4 + fx\t]y = -Y{t), /Є (0,0,
§ 27] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ 445
с начальными данными ЧЧ7’) = 0 и условием скачка
гр(<* - 0) = м»(Г + 0) - (25)
(Ujc(JC), /j)
Здесь мы провели еще одно обобщение: заменили г|>+ = г|>(Г + 6) на -ф(Г +0). Предоставим читателю несложную проверку того, что эта операция допустима в первом порядке теории возмущений. Если читатель повторит приведенный выше вывод для случая 6 < 0, он получит условие скачка в несколько иной форме:
Можно показать, что эти условия равносильны.
Подчеркнем, что относительная сложность вычислений связана с тем, что точка разрыва производной Ґ варьируется при изменении управления. Если речь идет о разрыве правой части уравнения в фиксированный момент времени, стандартная техника вычисления производных не требует никаких изменений.
Дифференцирование по границе области.
Рассмотрим задачу, в которой состояние некоторого объекта определяется решением краевой задачи в некоторой области. «Качество» этого состояния оценивается функционалом от решения. Пусть форма области не фиксирована, но Рис 49
может в тех или иных пределах меняться. Это изменение следует производить с целью улучшения качества объекта. Перейдем к более конкретной постановке задачи. Рассмотрим модельную задачу, в которой, однако, присутствуют те моменты техники дифференцирования, которые мы хотим разъяснить.
Предположим, что состояние объекта описывается ' функцией Sf (х, у), определенной в области Q (рис. 49) и являющейся решением краевой задачи для уравнения Пуассона (А — оператор Лапласа)
ASf = f(x,y), (х, у) Є Q, (26)
с краевым условием, для определенности, первого рода:
у)\ю = у)). (27)
Здесь /, ф — заданные функции, форма области не фиксирована. Чтобы избежать чисто технических усложнений, будем считать, что граница ABCD фиксирована и только ее часть AD может варьироваться. Пусть качество состояния оценивается функционалом
і
J Ф(ЗГу(х, I)) dx, о
(28)
446
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
где Ф — заданная функция. Таким образом, (28) есть функционал от формы области, вычисляемый по очевидной схеме: если область задана, решается краевая задача (26), (27), затем вычисляется интеграл (28).
Для того чтобы продифференцировать (28), нужно выбрать форму задания границы. Допустим, что граница AD задана параметрически координатами \(t), г](ґ) (0^ t ^ 1), а сами эти функции являются решением краевой задачи:
1=м,(0, r\=u2(t), ?(0) = т](0) = Ti(I) = 0, ?(1) = 1. (29)
Такая (или аналогичная) форма задания быцает удобна, когда возникает необходимость ограничить геометрические характеристики границы (кривизну, например). Итак, основным независимым аргументом в задаче является вектор-функция и(-) = {/г,(•), и2( ¦)}, по традиции называемая управлением. Интеграл (28) можно обозначить /¦[«(•)]. Алгоритм его вычисления начинается с решения краевой задачи (29), далее — как было описано выше.
Вычисление производной начинается с прямой вариации функционала. Эта операция дает очевидную формулу
і
6F[6u(-)] = ^ Ф'(STy) bSfy(x, I) dx, (30)
о
которую нужно преобразовать в выражение
і
6.F[6h(-)] = J (W1(I) bU1(I) + w2(t) bu2(t)) dt. о
Ниже описывается, как вычисляются W1, W2. Схема рассуждений обычная: вариация и(-) малыми величинами Ъи(-) приводит к малому изменению дуги AD, это влечет малое изменение состояния (Sf —*¦ Ж + bSf), после чего по (30) вычисляется малое изменение функционала.
