Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Основной элемент вычисления производной в данной ситуации — это правильная формулировка уравнения в вариациях; сложность здесь в том, что варьируется область. Выпишем уравнение для возмущенного состояния:
ASf = f(x,y), (х, у) Є Q. (31)
Некоторые сложности связаны и с краевым условием для Sf на дуге | AD, причем дело не в том, что нужно аккуратно разобраться в этом вопросе, а в том, что нужно уточнить постановку задачи. Пусть формально эти условия записаны в виде
Sf(%(t), Tj(O) = $(0 = <р(0 + 6<р(0. 0*; * s: 1;
при этом 6ір(ґ) не вычисляется, а задается постановкой задачи.
§27]
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ
447
Рассмотрим вариацию й^ ( х, у) и сформируем для нее краевую задачу. Учтем, что Ж и Sf определены в разных, хотя и мало отличающихся областях. На рис. 50 показана часть области (границы Q и.Й), Введем вспомогательную функцию if, определенную в невозмущенной области Q и мало отличающуюся от Ж там, где последняя имеет смысл:
\Ж(х, y)-Sf(x, у) I = 0(||6м||2), (х, у) Є Q Л Q.
Введя обозначение
bSf(x, у) = Sf(x, у) — Sf (х, у), (х, у) Є Q,
получим для этой функции уравнение в вариациях.
Возмущенную границу удобно описывать с помощью скалярных функций a(t) и т(г):
%(t + т(0) = 1(0 + а(0лі(0>
(32)
fj(f + x(0) = ri(0+ «(0«2(0.
где а, т = 0(||ём||), п = {/11, п2} — внешняя нормаль к № в точке t, а(0 — смещение 3Q относительно dQ по нормали, т(0 — малое возмущение параметра t. Можно обойтись и без этого смещения, изменив параметризацию 3Q таким образом. Припишем значение t точке пересечения 3Q с прямой {?(0 + OLnlV), т)(0 + an2(t)}. При этом надо пересчитать <Ьф(0> увеличив ее, очевидно, на т(0фД0- Будем считать эту операцию проделанной и уберем т из (32). Величина a(t), Рис. 50
конечно, функционально зависит от 6м( ), и это в дальнейшем будет учтено. Величины 6ф, а, т суть малые первого порядка; только этот порядок и будет учитываться в дальнейших выкладках. __
Определим Sf (х, у) в Q решением уравнения
ASf = /(х, у), (х, у) Є Q.
Краевые условия на границе ABCD — те же, что и для Sf (и Sf). На невозмущенной дуге AD поставим краевое условие
ІШ0, Ti(O) + а(0 = «р(0 + бф(().
Смысл этого условия очевиден: функция Sf (х, у) на возмущенной дуге 3Q с точностью до малых второго порядка совпадает с Sf. Если какая-то часть dQ лежит вне Q, речь идет об экстраполяции значений Sf в малой окрестности dQ. Такая операция корректна, если
448 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ [Ч. II
граница dfi достаточно гладкая, что обеспечивается определением границы уравнениями (29) при некоторых ограничениях на величи-ну Il u(t) ||, которые мы неявно считаем выполненными.
Таким образом, можно считать, что Sf (х, у) определена и удовлетворяет в Q тому же уравнению (стало быть, предполагается, что f(x, у) определена в окрестности Q и является достаточно гладкой) и совпадает с ^ на границе Q с точностью до малых второго порядка. Следовательно, \sf(x, у) — Sf (х, у)| есть величина второго порядка. Этой разницей мы пренебрегаем, т.е. вариацию bSf, определенную^ как Sf — Sf, можно использовать в дальнейшем и в смысле bSf = Sf — Sf. Вычитая из (31) невозмущенное уравнение (26), получаем уравнение в вариациях:
AbSf = 0, (х, у) Є Q, (33)
с краевыми условиями ЬЖ(х, у) =0 на границе ABCD. На границе AD краевое условие имеет вид
bSf+ а(г) Sfn = Ьф), t Є [0, 1 ]. (34)
Здесь мы заменили SPn на Sfn, отбросив возникающую при этом погрешность второго порядка.
Теперь используем тождество Лагранжа:
J $ (Ф AbSf - bSf ДФ) dx dy = <§> Ф bSf п dl-§ bSf Ф„ dl, (35)
п эп ап
где I — длина дуги на 0Q. Простой подбор краевых условий для' 4і позволяет получить из (35) выражение для bF через интеграл
от возмущений на AD. В самом деле, принимая для 4і(х, у)
уравнение ДФ = 0 и учитывая (33), обращаем в нуль левую часть (35). В силу краевых условий bSf = 0 на ABCD второй
D
интеграл в правой части превращается в ^ bSf Фп dl. Первый же
А
интеграл правой части превратим в bF, определив краевые условия для Ф следующим образом:
Ф = 0 на BADC, Ф = Ф'[<Гу(х, 1)] на ВС. (36)
Таким образом, краевая задача для Ф полностью сформулирована. Заменяя bSf на AD из краевого условия (34), получаем
D 1
bF=\4!nbSf dl=\ Ф„[ґ]{6ср(0 - <х(0 SfnIt]) dt. (37)
А 0
§ 27] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ 449
Здесь мы используем обозначение типа 4і,,!?] = Ф„(|(0> tI(O)* Ли-нейный функционал от а( ) следует преобразовать в функционал от 6и(-), что достигается сравнительно стандартными выкладками. Сначала находим внешнюю нормаль к AD в точке V.
„(*) = {*,, /Vi2+ т]2, rf/ = Vi2+ г)2 dt.
Вычисляем a(t), выписывая условия пересечения нормали с возмущенной границей:
|(f + х) + 6|(/ + х) = |(ґ) + ant(t),
г)(ґ + х) + 6г)(/ + х) = ri(/) + an2(t).
Пренебрегая малыми второго порядка, получаем систему линейных уравнений относительно а и смещения параметра х:
їх + S|(0 = Oinl, f]x + 6-п(0 = ап2,
откуда
<х(0 = (т](о 61(0 - 4(0 Stj(O)/Vi2 + г]2.
