Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
+ (11)
§ 27]
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ
439
Преобразуем выражение (Ьх(Т), ^(T)) — (Sjc(O), -Ip(O)), заменяя 6х(0) =Sfp(p) Ьр и уничтожая лишнее слагаемое выбором значения ip(T) = 0. Это то краевое условие, которое однозначно определяет >(t) как решение задачи Коши.
Итак, имеем окончательный результат:
T
6F[6u(-), 6р] = ^ (>v(^), 6u(t)) dt + (W, Ьр), о
где функциональные производные суть
"(О = ^TTTi = + (Гв[< 1, Ч>(0)>
du(t)
W = = агр(р) яр(О) + J (/;, г|>) dt + J ФрШ dt.
(12)
Проведенные выше выкладки по существу содержат в себе доказательство дифференцируемости функционала (9) поФреше. В качестве упражнения рекомендуем читателю проделать аналогичные вычисления в следующих, мало отличающихся от рассмотренной ситуациях:
а) Пусть F[u(-), р] =Ф|х(ґ), р\, где Ф и f заданы. (Отдельно необходимо рассмотреть часто встречающийся в приложениях случай t* = Т.)
б) Пусть вместо начальных данных Коши х(0) = Sf(р) заданы общие краевые условия Я?(х(0), х(Т), р) = 0. Существование, единственность решения такой краевой задачи, и гладкую его зависимость от управления следует предположить (доказательство этих свойств — отдельная наука, которой мы здесь не касаемся).
Конечные вариации и на множествах малой меры. Важным элементом современного вариационного исчисления является следующий класс «малых» возмущений управления, также приводящих к малому (в обычном смысле слова) возмущению траектории и функционалов. Пусть задано невозмущенное управление и(-) и соответствующая ему траектория x(t) (параметры р, ради простоты, опустим). Рассмотрим другое, в некотором смысле близкое, управление:
=W = H0' 'I*' ' (13)
[u(t), t (А.
Здесь v(-) — некоторая функция того же типа, что и и, причем \\u(t) — и(/)|| = 0(1), ц. — некоторое множество малой меры: mes ц = є. Конструкции типа (13) называются конечными возмущениями управления на множествах малой меры (рассматриваются всевозможные множества ц. и функции и(-)).
440
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
Пусть управлению u(t) соответствует возмущенная траектория х(0- Тогда (для задачи (8), во всяком случае) можно получить оценку Ax(t) = О(е). Вычисление вариации функционала (теперь уже лучше не говорить о производной — она в данном случае не определена) проводится по той же схеме, что и раньше, но некоторые детали следует уточнить.
Итак, сначала вычислим вариацию функционала
T Г
AF = ^ Ф(х + Ах, й) dt — ^ Ф(х, и) dt«
Or о
« J Фл[ґ] Ax(t) dt + $ {Ф(х(0, КО) — ф(*(0> м(0) dt. (14)
О ц
Кроме обычных формул Тейлора, в (К) использовано следующее:
а) в члене Фх Ax производная Фх везде вычисляется в точке u(t); это неверно при t Є [а, но мера ц мала и связанная с этим погрешность есть, очевидно, 0(г2);
б) по тем же причинам в последнем интеграле в (14) х + Ax заменено на х.
Перейдем к уравнению в вариациях. Имеем уравнения x = f(x,u), x = f(x,u), х(0) = х(0).
Беря их разность, проделаем простые преобразования:
Ax = }(х + Ах, и) — f(x, и) =
= fxU] &x(t) + {/(х(0, w(0) - f(x(t), u(0)} + R(t). (15)
Здесь R(t) — разность между точным значением Ax и первыми тремя членами последнего в (15) выражения. По тем же соображениям, которые использовались в преобразованиях (14), можно показать, что R(t) = 0(е2) при t ф. ц и R(t) = О(е) при ( Є ц. Поэтому для вариации 6х(0 = Ах(0 + 0(е2) можно использовать уравнение в вариациях в форме
6х = fx[t] дх + {/(х(0, м(0) — f(x(t), u(t))}, 6х(0) = 0. (16)
Выражение в фигурных скобках есть, очевидно, величина 0(1) при t Є [х; оно обращается в нуль при t $. ц.
Тождество Лагранжа (10) берется в той же форме (10); уравнение для такое же, как (11). В результате получаем окончательную формулу для вариации функционала:
S-Hn, «(•)] = 5 {Ф[*(0. *401 - ф[х(0, U(t)} dt +
" +\(W),fW),v(t))-f(x(t),u(t)))dt. (17)
И
§27]
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ
441
В вариационном исчислении различают слабый относительный минимум — это точка и( ¦), которая не может быть «улучшена» при возмущениях управления вариациями ди(-), малыми в обычной метрике (типа'С), и сильный относительный минимум — это точка и(-), которую нельзя улучшить, используя конечные вариации на множествах малой меры. Современные теории, если это удается, строят именно как теории сильного экстремума.
Дифференцирование спектра. В приложениях часто встречаются задачи следующего типа. Состояние системы x(t) определяется как та или иная (например, главная) собственная функция линейного дифференциального оператора, зависящего от «управления» и:
L(u) х = Хх. (18)
В таком компактном виде записываются как дифференциальное уравнение, так и краевые условия, которые обычно оформляются указанием на принадлежность х некоторому линейному пространству функций. Это пространство определяется числом необходимых производных и краевыми условиями. Уравнение (18) следует дополнить четким указанием о том, какая именно точка спектра имеется в виду в данной задаче и как она нормируется.
Итак, мы считаем, что задание и однозначно определяет как х, так и X. Рассмотрим функционал и его прямую вариацию:
