Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
т — число точек в множестве y(x); F — значение /0 IO5, К —
число вычислений функции /° (число вычислений производных /° по X или у составляет примерно 0.35*). Заметим, что весь расчет занял 10 минут на БЭСМ-6.
Обратим внимание на 45-ю итерацию. В этот момент была найдена новая существенная точка множества у(х), значение /° резко упало, затем ситуация выправилась. Разумеется, нет гарантии того, что задача решена очень точно. Однако стабилизация значений F и т в какой-то мере свидетельствует об этом. Во всяком случае, результаты
Таблица 17
V т F К V т F К
1 11 3321 442 30 18 34413 7213
3 U 9158 667 33 18 34482 7773
6 12 16180 2196 36 18 34515 8151
9 14 24177 3061 39 18 34545 8731
12 16 29312 3685 42 18 34557 9676
15 17 31893 4468 45 19 29342 10260
18 18 33320 5187 48 18 31615 10812
21 18 33687 5724 51 17 33223 11332
24 18 34117 6275 54 18 34774 12146
27 18 34340 6650
создают впечатление, что продолжение вычислений едва ли будет оправдано: либо задача решена, либо метод перестал работать.
Большую роль при этом играет репутация метода. Она создается решением большого числа задач, в которых результат удается так или иначе проконтролировать. Кстати, описываемую выше задачу автор заимствовал в одной из работ, в которой она решалась методом штрафных функций. Автор, скептически относясь к его возможностям, проконтролировал эти расчеты с помощью метода линеаризации и без труда обнаружил грубость полученных методом штрафных функций результатов (в некоторых случаях такую, что едва ли можно было говорить о приближенном решении задачи). Конечно, нельзя исключать и того, что кто-то таким же образом обнаружит ошибочность приближенного решения, найденного автором. Ho пока этого не произошло.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ
435
§ 27. Дифференцирование функционалов
В самых различных задачах возникает необходимость использовать функциональные производные. Основным источником таких задач являются вариационные принципы, широко используемые в разных областях естествознания. Ho есть и другие задачи, методы решения которых связаны с использованием функциональных производных, например нелинейные функциональные уравнения. В настоящее время сложилась достаточно общая формальная задача, которую иногда называют задачей оптимального управления, хотя это название не столько отражает существо дела, сколько является исторически сложившимся. Рассмотрим ее в общей форме
Имеется уравнение
R(x, и) = 0, (1)
связывающее состояние некоторого объекта х с «управлением» и, т.е. с совокупностью функций и параметров, входящих в уравнение. Например, R может быть обозначением краевой задачи для уравнений в частных производных относительно х, а и в этой ситуации может обозначать функции и параметры, входящие в краевые и начальные условия или коэффициенты уравнения. Важным является следующее свойство уравнения (1), которое в абстрактной формулировке является, конечно, предположением. При любом «управлении» и уравнение (1) имеет решение и оно единственно. Более того, это решение Sf (и) зависит от и достаточно гладко, например непрерывно дифференцируемо по и.
Пусть по тем или иным причинам нас интересует, как изменяется решение X при малом изменении и. Точнее, нас не интересует полная картина изменения решения. Достаточно более грубой информации об изменении некоторых общих («усредненных») характеристик решения, или, проще говоря, некоторых функционалов от решения. Итак, пусть задана некоторая конкретная формула Ф(х, и), позволяющая вычислить значение Ф через х и и. Так как х однозначно определяется заданием и, можно ввести обозначение
F(u) = Ф(х, и), Ф Є R1.
Здесь левая часть — абстрактный символ, означающий, что, коль скоро задан элемент и, можно вычислить число F. Правая часть расшифровывает способ вычисления: зная и, нужно решить уравнение (1), найти х и вычислить Ф, т.е. F(u) = Ф(3?(и), и).
Продифференцируем F, т.е. вычислим (в первом порядке) изменение F при малом изменении и на Ьи:
Р(и + 6и)ъР(и)+Фи(%’(и),и)&и + Фх2’и6и. (2)
Таким образом, речь идет о дифференцировании суперпозиции функций. Дело осложняется тем, что зависимости Sf (и) мы явно не
436
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
имеем. Уравнение (1) обычно носит настолько сложный характер, что можно рассчитывать лишь на приближенное его решение при заданном и. Поэтому формула (2) неэффективна, ее следует заменить некоторыми выполнимыми операциями.
Первый шаг используемой в этих ситуациях техники — это прямое варьирование Ф. Считая, что малая вариация и приведет к малому возмущению состояния Ьх, запишем предварительную формулу, в которой производные Фх, Фи известны:
F(u + Ьи) « Ф(х, и) + Фх(х, и) Ьх + Фи(х, и) Ьи. (3)
Заменим линейный функционал Фх. Ьх равным ему функционалом от Ьи, используя то, что Ьи однозначно определяет Ьх посредством так называемого уравнения в вариациях. Оно получается формальным варьированием уравнения (1):
R(x + Ьх, и + Ьи) яа R(x, и) + Rx(x, и) Ьх + Ru(x, и) Ьи.
