Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
F(u) = X, ЬЕ[ди] = ЬХ. (19)
Предположим, для простоты, что спектр вещественный, дискретный и непрерывно зависит от и. (Этот факт нужно доказывать и это делается в соответствующих разделах теории. Мы будем действовать формально.) Выпишем уравнение в вариациях. Оно получается теми же операциями — подставкой в (18) и + 6и, х + Ьх, X + ЬХ, использованием первых членов ряда Tейлора и группировкой членов одного порядка малости:
L(u) дх + М(и, х) Ьи = X дх + дХ х. (20)
Здесь и — заданное управление, х и X — соответствующие ему собственные функция и число. Таким образом, относительно 6х мы имеем линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами (M = LuX — матрица, зависящая от х, и).
Представим (20) в другой форме:
(L — XE) Ьх = —М ди + дХ х.
Относительно Ьх это есть вырожденная задача (задача «на спектре»). Как известно, она имеет решение только в случае, когда правая часть ортогональна собственной функции сопряженного к L оператора, соответствующей той же точке спектра X (или X, если оператор L несамосопряженный). Обозначим эту функцию Ц>, т.е.
442
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
L'(и) у = A.Tj)- Тогда условие существования решения (20) есть (-M 6и + 6Х х, ту) = 0. Отсюда получаем формулу
6А.(6м) = (М*(м, x)il), 6u)/(x, ^). (21)
Заметим, что в (18) л; есть функция, заданная в некоторой области Q, и может быть функцией, заданной в Q, а может быть определена только на ее границе OQ (если и есть коэффициент, входящий в линейные однородные краевые условия). Возможен и такой случай, когда и есть комплекс, одна компонента которого определена в ?2, другая — на dQ. Поэтому в (21) скалярное произведение (*, V) есть интеграл по Q, (М*ц>, 6и) может состоять из интеграла по ?3 и интеграла по dQ. В этом случае М* отображает функцию, определенную в Q, в комплекс, одна компонента которого есть функция, определенная в ?3, другая — на 9Q. Очевидно, функция M линейно зависит от х. Поэтому правая часть (21) не зависит от способа нормировки х, Ц).
Формулы типа (21) используются, например, при решении вариационных задач для математических моделей ядерных реакторов (их состояние определяется главной собственной функцией некоторой краевой задачи для системы уравнений в частных производных),при оптимизации некоторых конструкций (например, мембран, важные технические характеристики которых выражаются через частоты собственных колебаний) и т.п.
Варьирование слабого разрыва. Рассмотрим задачу, в которой траектория имеет точку слабого разрыва, причем сама эта точка при варьировании управления меняет свое положение. С такими ситуациями имеют дело в случае, когда правая часть уравнения меняется при пересечении траекторией некоторой заданной поверхности в фа- 1 зовом пространстве. Итак, рассматривается обычная задача для управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида (х(0) = Sf, 0 ^ t ^ Т)
\f(x, и), G(x(t)) < 0,
[f(x, и), G(x(t)) > 0.
Ради простоты предположим, что исследуемая траектория x(t) только один раз пересекает поверхность G(x) = 0, причем пересека- і ет, как говорят, версально, без касания. Другими словами, требуется (при всех рассматриваемых значениях и) выполнение неравенств
(f(x, и), Gx(x)) > 0, (/(*, и), GJx)) > 0,
где X — точка, в которой анализируемая траектория пересекает поверхность G = O. Это условие существенно. Если оно не выполняется, перестает работать теория малых возмущений: малое возмущение управления может привести к конечному (0(1)) изменению траектории.
§27]
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ
443
Рисунок 48 иллюстрирует сказанное. На нем показана линия G, на которой рвется поле направлений рассматриваемой системы уравнений, и две траектории. Одна из них пересекает поверхность G = O вер-сально. Близкая к ней в области G < 0 траектория после пересечения поверхности разрыва остается близкой. Мы будем анализировать только этот случай. Другая траектория пересекает поверхность, касаясь ее. Близкая к ней в области G < 0, траектория не пересекает поверхности G = 0, и такие траектории расходятся на расстояние O(I) как бы ни были они близки до приближения к поверхности разрыва. По существу в этом случае не работает теорема о единствен- Рис. 48
ности решения задачи Коши.
Ниже мы ограничимся только тем основным моментом, которым эта задача отличается от стандартной. Рассмотрим вывод формулы т т
5 (У(/), б*(0) dt = J (и<0, MO) dt. (22)
о о
Здесь У — заданная функция, w — функция, подлежащая вычислению. Пусть исследуемая траектория x(t), порождаемая управлением и(-), пересекает поверхность G = 0 в момент f, а траектория, порожденная возмущенным управлением м(•) + Ьи(• )> пересекает эту поверхность в момент Ґ + 6. Для определенности, будем считать д>0 (случай 6<0 приводит к тем же формулам); очевидно, д — 0(|| Ьи II). Уравнение в вариациях имеет вид
Ьх — fx[t\ Ьх = fu[t\ Ьи, 0 *it ^t*, b'x-fx\t)bx = ~fu\t)bu, f + b*t*T.
Тождество Лагранжа записывается очевидным образом:
ґ
J [(-ф, Ьх — fx Ьх) + (6х, -ф + /* -ф)] dt + о
