Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда, так как Л(х, и) = 0, приходим к уравнению
Rx(x, и) Ьх + Ru(x, и) Ьи = 0. (4)
Оно линейно относительно Ьх и Ьи и определено в той точке
(х, и), в которой производится вычисление производной. Конечно, предполагается, что (4) однозначно разрешимо относительно Ьх при заданном Ьи.
Следующий шаг носит несколько искусственный характер. Используем тождество Лагранжа, являющееся в сущности определением сопряженного оператора:
(Rxbx, чр) = (6х, V ч|). (5)
Здесь я|) пока произвольно. При подходящем выборе Ц) эта формула позволяет выражать линейный функционал от Ьх в виде линейного функционала от Ьи. Заметим, что нас ш#гересует выражение Фх6х, которое, конечно же, точнее следует записывать в виде скалярного произведения (Фг, Ьх). (Производной в смысле Фреше функционала Ф(х, и) по х, если она существует, является элемент пространства, двойственного к пространству элементов Ьх.) В качестве я|) возьмем решение «сопряженного» уравнения
R'x(x, и) у = Фх(х, и). (6)
Нетрудно сообразить, что в левой части (5) следует заменить Rxbx на —Rubu в силу уравнения в вариациях (4). Объединяя эти преобразования, получаем
(Фх. &х) = - (Я„$и, яр) = - (Л*Ч|), Ьи). (7)
§27]
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ
437
Подставляя (7) в (3), мы имеем окончательную формулу для вычисления функциональной производной:
(Fu(u), би) = (Ф„(д:, и) - R*UH>, би).
Итак,
Fu(u) = ФН(*, и)
Подведем итог, перечислив вычисления, которые дают функциональную производную Fu в точке и. Имея и, можно решить уравнение (1) и получить х\ имея х, и, можно сформировать уравнение (6). При этом мы неявно предполагаем, что операции дифференцирования по х и и оператора R и функционала Ф являются элементарными. Во многих достаточно сложных задачах это действительно очень простые операции, но встречаются и более сложные ситуации, в которых не так-то просто разобраться. Решая уравнение (7), находим яр и вычисляем функциональную производную Fu.
Выше была приведена общая схема дифференцирования функционалов, определенных на решениях функционального уравнения. В изложении мы опустили многочисленные тонкости строгого математического оформления схемы, выделяя содержательно существенные моменты. По этой схеме ниже мы рассмотрим более аккуратно характерные конкретные примеры.
Дифференцирование функционалов от решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим ситуацию, которая связана с задачами оптимального управления в первоначальном смысле этого слова (см. § 28). Изучается система дифференциальных уравнений, «управляемая» выбором функции и(-) и параметров р:
X = f(x, и, р), дс(0) =Sf0(p), Oss ^ Т. (8)
Траектория системы (8) полностью определена заданием управления {«(•), р}. Пусть управление подверглось малому возмущению: и(-) -» и(-) + 6и(-), р~* P + 6р.
Возникает вопрос: что значит «малое возмущение 6и( •)»? Пока ограничимся самым простым случаем, считая, что max ||6м(^)|| = О(є),
t
||6/?|| = О(е). (Если вид нормы не конкретизирован, можно считать, что Il • Il — любая из употребляемых в конечномерных пространствах норм.) В нижеследующих выкладках используется тривиальная теория малых возмущений первого порядка (см. § 19). Прежде всего необходимо установить, что малое возмущение управления порождает, соответственно, малое возмущение траектории. Обозначим через х((, и(-), р) решение задачи Коши (8), определяемое управлением
438
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
{«(¦)> P)i через Ax(t) — приращение x(t), вызванное возмущением управления:
Ax(t) = x(t, и(-) + Ьи(-), р + др) — x(t, и(-), р).
Оценка {IA3c(f) Il = О(є) устанавливается аналогично тому, как исследовался ряд Пуассона в § 19.
Пусть определен функционал от {и(-), р}:
т
^И')> Р] = J Ф(*(0> и(0> Р) dPy (9)
о
где Ф — заданная гладкая функция. Мы используем символ А в идентификаторах, присваиваемых точным приращениям величин, символ 6 — в идентификаторах вариаций этих величин (А от 6 отличаются в следующем по є порядке). Символ и(-) означает функцию, взятую в целом как аргумент функционала; u(t) есть точка конечномерного пространства (сечение и(-) в точке t).
Вычислим ЬF прямым варьированием формулы (9). Подставляя в правую часть х + Ьх, и + 6и, р + Ьр и используя первые члены ряда Тейлора, имеем т
bF\bu(), Ьр] = S {ФХШ 6*(0 +Ф„ш bu(t) +ФР[(] Ьр} dt.
о
Здесь Фх[<] обозначает Ф^.[jc(/), u(t), р] — зависящую от t матрицу, определенную в той точке {и( •), р}, в которой вычисляется производная. Итак, получена формула типа (3). Выпишем уравнение в вариациях (4) таким же формальным варьированием уравнения (8):
Ьх = fx[t\ Ьх + fu[t] Ьи + fp[t\ Ьр, 6дс(0) = 3?р(р) Ьр.
Это и есть уравнение в вариациях. В нем Ьх можно заменить на Ах, добавив к правой части выражение о(е).
Используем элемент общей схемы — тождество Лагранжа:
J J *
s H dt~s *H dt=(6x’^)iо- (1°)
о о
Вывод (10) сводится к интегрированию по частям, определению /* и к
соотношению (d/dty = —d/dt. Заключительный шаг преобразований требует нехитрого угадывания вида правой части сопряженного уравнения, с тем чтобы выражение (—ij) — /* ip, Ьх) превратилось в (Фж, Ьх). Очевидно, в качестве Ц) следует взять решение уравнения