Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Используя полученные выражения, преобразуем формулу (37): і і
S F = j WltIf] 6«р(0 dt-\ W„[/J ЗГп\г\ (г, SI -І Sr1) dt.
о о
В дальнейшем мы будем преобразовывать в функционал от би(-) только второй интеграл правой части. Такие же преобразования должны быть проделаны и над первым интегралом, но сначала (в зависимости от точной трактовки краевого условия на любой допустимой дуге AD) этот интеграл должен быть преобразован в функционал от S|(*), Sri(-).
Выпишем очевидное уравнение в вариациях:
Si = Sw1, SVi = Sw2, S|(0) = S|(1) = Sti(0) = 6ti(1)=0,
и соответствующие тождества Лагранжа: і
J (H)1 Si - S| ^1) dt = [гр, Si - S| Ip1]*,,
0
1
J (-ф2 Sii - Sr) гр2) dt = [гр2 6 tI - Sr) 1р2]‘. о
15— 1833
450 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ [Ч. II
Взяв в качестве Ip1, гр2 решения краевых задач
ч>1= -ф„И ar„[t] т|(0, Ч’і(О) = ч>і(і) = о,
(38)
^Jt] ко. 1P2(O) = 4*2(1) = о,,
мы, очевидно, получим
I 1
J чуо 8?n[t\ (Tl 6? - I 6ri) dt = $ (-ф,(0 6wj(0 + ^2(0 6мг(0) dt,
о о
т.е. требуемый результат.
Подведем итог, перечислив последовательность операций, выполняемых при вычислении производной функционала:
1) задано невозмущенное управление ut(t), u2(t) (t Є [0, I]);
2) решая систему (29), определяем ?(0, л(0 и> тем самым, область Q;
3) решая «прямую» краевую задачу (26), (27), вычисляем Sf(х, у) и функционал F[m(-)];
4) решая задачу A1Ii = O с краевыми условиями (36), находим
ч»(*. у);
5) решая краевые задачи (38), находим Tp1, тр2, являющиеся производными функционала;
Th (t) = PZMll -ф (п =
^ ' OulU) ’ dU2(t) ¦
Дифференцирование по коэффициенту диффузии. Рассмотрим задачу, в которой состояние объекта Sf (х, у) определяется решением эллиптического уравнения «с управлением» и(х, у):
div [и grad Sf\ = 0. (39)
Это уравнение рассматривается в заданной области Q с границей
Г, на которой поставлено краевое условие
JTIr = /. (40)
Коэффициент диффузии и(х, у) может как-то меняться и является в данном случае тем ресурсом, распоряжаясь которым можно влиять на состояние объекта в нужном направлении.
Предположим, что качество состояния Ж оценивается функционалом /’[«(•)], для которого, ради определенности, примем формулу
F[u(-)\ = § <t>(Sfn) ds. (41)
г
Здесь Ф — заданная функция, Sfn — нормальная производная. Покажем, что при дифференцировании функционала (41) в некоторых
§ 27] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ 451
(достаточно распространенных) ситуациях слишком наивное и прямое применение описанной выше техники вычисления функциональной производной может привести к грубой ошибке. Нужно достаточно внимательно относиться к некоторым чисто математическим тонкостям. Ситуация (простейший ее вариант) такая: в области Q имеется внутренняя подобласть со с границей у (рис. 51).
Пусть невозмущенный коэффициент диффузии и(х, у) имеет разрыв на у, будучи гладкой функцией в со и Q\co.
Рассмотрим два варианта теории возмущений:
а) малое (О(є)) возмущение и во всей области Q (малое в метрике С); в этом случае mes со = 0(1);
б) мала мера со (mes со = є); в этом случае возмущение и есть 0(1) в со и нуль (или, если угодно, О(є)) в остальной части.
В обоих случаях соответствующее возмущение состояния dSf = О(е) (такие теоремы для (39) доказаны) и вариация функционала вычисляется по формуле
6^=5 Ф'[«] dSfnds, ф'[5] = Ф'(3*п(х($), y(s))). (42)
г
Здесь Ф'[х] — известная на Г функция, вычисленная по известному невозмущенному состоянию.
Для преобразования (42) в линейный функционал от 6и(-) (мы пока ограничимся более простой ситуацией малых возмущений на всей области Q) выпишем наивное уравнение в вариациях:
div [и grad bSf\ + div [6м grad SP\ = 0, (43)
и тождество Лагранжа:
J div (и grad bSf) dx dy — bSf div (и grad 4і) dx dy =
Q Я
= <$> {4>u bSfn - bSf ds. (44) г
Определяя 4і решением уравнения div (и grad Ч*) = О с краевыми условиями мЧ^|г = Ф'[5], учитывая hSfIr = O и уравнение (43), из (44) получаем
6/^64^(•)] = — Ч*(х, у) div (ди grad Ж) dx dy. (45)
п
Ошибка этой прямолинейной выкладки состоит в том, что при разрыве и на у гладкой функцией является «поток» и Sfn, где Sf = (grad Sf,n),n есть нормаль к у. Функции и и Sfп на у рвутся
15*
Рис. 51
452 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ [Ч. II
и уравнение (43), будучи верным всюду вне у, на этой линии теряет смысл. Видимо, в ситуации можно разобраться, используя теорию обобщенных функций, но мы предпочтем более прозрачный классический анализ. Итак, уравнением (43) и тождеством (44) можно пользоваться отдельно в ш и Q\co. На разделяющей их кривой у выполняются условия согласования
т^=о, м^=о,
т.е. разрывы решения и потока на у равны нулю. Эти условия уже можно проварьировать обычным образом:
[6^ = 0, [и b^Jy+[bu ^nJy = O. (46)
Используя уравнение (43) и тождество (44) отдельно вши ?2\ш (в этом случае в (44), очевидно, добавляется контурный интеграл по v), складывая оба выражения типа (44), получаем правильное тождество:
