Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
G[x(t)]3s— є, є > 0, г Є |а.
На этом множестве разместим небольшое число точек Xі по следующему, например, правилу. Предположим, для простоты, что |х есть просто отрезок. Разобьем его на заданное число J равных частей, и на каждой части найдем точку х> с наибольшим на этой части значением G[x(x) ]. Конечно, мы не можем сказать заранее, сколько таких «контрольных» точек надо брать. Это зависит от структуры траектории, от меры множества (л, от оценок | х | = | /1 на данной траектории и прочих трудно контролируемых факторов. Поэтому эти соображения дополняются алгоритмами, регулирующими изменение числа J в зависимости от хода процесса поиска экстремума.
Отметим, что мы не случайно не рассматриваем в таком же стиле близкую по форме конструкцию ограничения G[x(<), u(t)\ < 0. Дело, конечно, в свойствах гладкости функции G[x(t), ы(<)]. Так как u(t) — произвольная («измеримая») функция, то и G[x(t), u(t)\, как функция t, — тоже произвольная функция. И даже контролируя условие G ^ 0 на всюду плотном множестве меры нуль, мы на самом де-16 — 1833
466
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
ле не обеспечиваем выполнения условия G^O при всех t. Однако реально задача решается в классе кусочно-постоянных u(t), к которым термин «измеримость», кажется, никакого отношения не имеет. Это так: предложенная выше конструкция применима и в данном случае с конечным числом У. Все дело в том, каким будет это число J. Если
и явно входит в G, то, скорее всего, число контрольных точек Xj будет сравнимо с числом интервалов постоянства и, т.е. с числом узлов сетки Ar. Это делает задачу определения 6и (и подготовки необходимой информации) слишком громоздкой и дорогой. Как показал опыт, часто условие G(x) ^ 0 с хорошей точностью можно обеспечить при небольшом числе /(3 + 5, например).
Что касается условий G(x, и) « 0, то они могут быть учтены с помощью несложного искусственного приема. Явно входящие в G компоненты оформляются как дополнительные фазовые переменные, а управлением становятся их производные, т.е. делается замена переменных ii = v, м(0) = р. Теперь V — компонента нового управления, р— неизвестный параметр, тоже входящий в обобщенное управление. Этот прием имеет отрицательные последствия: сравнительно простые ограничения и (типа 0 ^ и < 1) становятся ограничениями в фазовом пространстве. Кроме того, если м(ґ) — разрывная функция, процессом малых вариаций и( •) —»• и( •) + bv( ¦) приходится получать в v( t) аналог 6-функции. Тем не менее этот прием с успехом применяется на практике. В дальнейшем мы познакомим читателя и с более прогрессивной идеей учета таких условий в методах приближенного решения.
Пример решения задачи. Выше были изложены основные идеи методов приближенного решения задач оптимального управления. Их реализация связана с необходимостью конкретизировать большое число деталей, кажущихся мелкими на первый взгляд, но оказывающих довольно большое влияние на эффективность алгоритма. Мы He можем здесь уделить внимание этим деталям, с ними читатель, если ему понадобится, может познакомиться по специальной литературе. Для иллюстрации приведем пример решения одной прикладной задачи — об оптимальном развороте самолета.
Система уравнений движения для такой задачи имеет вид (0*S^1)
ДС1 = X4 COS X5 COS X6, X2 = X4 sin X5, X3 = -X4 COS X5 sin Xb,
X4 = g \ {x3p0 cos a — CaqS)/X1 — sin X5J,
X5 = g (x9 COS X11 — COS x5)/x4, X6 = —g (x9 cos xa)/(x4 COS X5),
X1 = -Cs, X8=M1, X9 = M2, X10 = M3, Xn = M4.
Здесь x = РЇ1 dx/dt, где P1 — параметр, входящий в обобщенное управление {м(-), р}. Он имеет смысл времени выполнения маневра, которое не задано заранее, а является ресурсом оптимизации наряду
ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
467
с «(•). В монографии Ю. Г. Евтушенко (см. список литературы) подробно разъяснено содержание задачи, указан конкретный вид функций и значения параметров, входящих в систему уравнений
Таблица 18
і 1 2 3 4 5
ф' X2 -3000 л5 JC6 +Л Jc9-I JC11-I
(/J0, Cx, S, q, a, g). Вектор фазовых координат х = {х1, х2, ..., х11},
при этом четыре его компоненты дс8, лс9, л10, Xй являются управлением в исходной постановке задачи. Они превращены в компоненты фазового вектора. Управлением стали их производные, а компонентами управляющего вектора р стали начальные данные.
Таблица 19
і 6 7 8 9 10
Ф Jt5- я/2 -JC5 — я/2 0.05-JC8 JC8-I OO I O-N H
і 11 12 13 14
ф 4.6a(jc) — 1 JC7-JC9-1.5-IO4 -JC10 JC10-I
Опишем в общих чертах процесс решения этой задачи методом линеаризации (он подробно описан в § 26). На каждой итерации алгоритма вычисляются производные всех функционалов и решается задача линейного программирования. Некоторые детали метода описаны выше (например, дискретизация задачи, аппроксимация функционалов, недифференцируемых в смысле Фреше).
Вариационная задача ставится в терминах функционалов
F0[u( ¦), р] = P1 (задача быстродействия).
На правом конце траектории ставятся пять условий, определяющих требование попадания правого конца траектории х(1) на некоторую гиперплоскость. Они имеют стандартную форму:
