Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Реализация методов квазиныотоновскот типа, в которых появляются матрицы, аппроксимирующие гессиан функционала, здесь также встречается с трудностями. Это, прежде всего, — трудности больших размерностей: ведь такая матрица должна иметь размер Nr X Nr. Да и перспективы построения хорошей аппроксимации гессиана процессом постепенного уточнения при высокой размерности пространства не очень ясны. Во всяком случае, этот путь еще не разведан вычислителями, и мы не знаем, с чем встретимся на этом пути. С этими оговорками, располагая формулами типа (14), можно реализовать любой из описанных в § 26 алгоритмов решения об- рис. 52 щей задачи математического программирования.
Кстати, информация, содержащаяся в матрицах hn+1)2, позволяет проверять приближенное выполнение необходимого условия оптимальности — принципа максимума. Здесь появляются объекты, полезные и в теории, и в практических вычислениях.
Конус возможных вариаций Ku. Множество всех вариаций управления 6u(t), совместимых с условием u(t) + 6u(t) Є U, обычно является выпуклым конусом Ku. Построение этого конуса (в функциональном пространстве) не очень сложно, если геометрия области U не слишком сложна. Нужно построить конусы K(t) в каждой точке t отдельно, после чего конус Ku есть просто «топологическое произведение» конусов. Это означает, что Ьи( •) є Ku эквивалентно bu(t) Є K(t), V t. Построение конусов K(t) при разных положениях u(t) в U показано на рис. 52, которым мы и ограничимся, полагая, что читатель без труда обобщит эти простые соображения на общий случай.
Конус вариаций Kf. Рассмотрим точку функционального пространства и(-), которой соответствует точка F[u(•)] в (т + ^-мерном пространстве (F= (Zr0, F1, ..., Zrm)). При возмущении управления и(-) малой функцией 6и(-) Є Ku точка /•’[«(¦)] переходит в
§28]
ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
461
точку F[u(-) + Ьи(-)], которую в первом приближении можно представить в виде
F[u(-) +bu()]=F[u(-)] + j W(t)bu(t)dt.
о
Матрица-функция W(t) (физики называют ее функцией влияния, но это всего лишь функциональная производная) определяет линейное отображение Ku в Kf, и коль скоро Ku есть выпуклый конус, то и его образ есть выпуклый конус.
Конус запрещенных вариаций Kz. Пусть вариационная задача поставлена в форме Fi «0 (г = 1, 2, ..., т). Рассмотрим точку и(-), в которой Ft[u(•)] = 0. Нас интересует, можно ли за счет вариации 6и( •) Є Ku сместить точку F таким образом, чтобы bF0 < 0, bFt s? 0 (г = 1, 2, ..., т). Множество таких направлений 6F образует простой выпуклый конус —
«отрицательный квадрант» в (т + 1)-мерном пространстве. Этот конус называют конусом запрещенных вариаций Kz.
Если точка и( ¦) — решение вариационной задачи, ни одно из направлений
6F Є Kf не должно попадать в Kz. Если существует би(-) Є Ku, такая, что ей соответствует bF Є Kz, точка и(-) не явля-
w Риг
ется оптимальной, ее можно «улучшить» L<
(понизить значение F0, не нарушая поставленных условий). Если такой Ьи(-) не существует, точка и(-) может быть оптимальной (здесь ситуация такая же, как и в обычной теории экстремума: если производная в какой-то точке равна нулю, эта точка может оказаться точкой экстремума).
Принцип максимума. Теперь перейдем к выводу основного уравнения теории оптимального уравнения — принципа максимума, являющегося необходимым условием оптимальности точки и(-).
Начнем с простого факта. Если и(-) — экстремум, конусы Kf и Kz не должны пересекаться:
Kf П Kz = 0 . (15)
Расшифруем формулу (15). Если два выпуклых конуса не пересекаются, они могут быть разделены некоторой гиперплоскостью G (рис. 53). Пусть g = {1, gv ..., gm] — нормаль к G. Тогда (15) эквивалентно условиям
(g, bF) ^ 0 для всех bF Є Kz.
462 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ [Ч. II
Так как векторы
{0,-1,0,...,0}, {0,0,-1,...,0}, ..., {0,0,...,0,-1}
лежат в Kz, то мы получаем информацию о знаках gt: gt > 0.
Более сложная информация содержится в другом следствии из (15): (g, bF) 3= 0 для всех bF Є Кр.
Все 6F Є Kf могут быть получены по формуле г
\ W(t) bu(t) dt, bu(•) Є Ku. о
Следовательно,
It \
(g, bF) = g, j W(t) bu(t) dt =
0 T T
= 5 (g, Wbu) dt= J (W'(t)g, bu(t)) dtj* 0.
0 0
Это неравенство должно выполняться для всех Ьи(-) Є Ku. Отсюда вытекает, что при всех t (точнее, при почти всех t) должно быть
{W*(t)g, bu)>0, V Ьи Є K(t), V t.
Полученный результат можно преобразовать, вспомнив формулу (13). Строками матрицы W(t) являются векторы
wi(0 ^ *(0» “(01 "ФЧО + ф\\і, x(t), u(t)].
В результате
W
и'ЧО* —'Si wi(0 =
І —Q
т т
= /«[<. *(о. «(О] X gi V(0фіі*’ *(*)> =
і=0 і=О
д
Эи
іf[t, x(t), u(t)], 2 gt ^i(O) + E Si *(t), U(t)] i=0 (=0
Заметим, что каждое ^‘(0 — решение линейного дифференциального уравнения (12) со своей правой частью Y1 (t). Таким образом,
т
яр(<) =^gi V(0 есть решение уравнения, содержащего т неопрене о
деленных параметров:
= *(0> «(01 "Ф + Х yi(0> ^(T1)=O. (16)
ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
