Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
$ J {W div (и grad 63?) — ЬЗ? div (и grad Ф)} dx сIy =
Іі\у
= <$> {Wm ьа?п - ьа? иЧ>п) ds + ф № ьз?п]у + [ьа? Mwjv} ds. (47)
Г -у
Интеграл по Q\y означает просто сумму интегралов по ш и Q\w. Теперь уже можно действовать стандартным способом.
Определим Ф решением той же самой задачи со стандартным условием на у:
[W], = 0, [иФ„]^ = 0.
Используя непрерывность W и Ьа? на у, имеем
\ьа? иЧ>п]^ = о,
а в силу (46)
рРи ьа\]у = ф> ьа?п]у = -W- [Ьи a?n\Y
Теперь остается исправить формулу (45):
6/46//( •)] = — W div (Ьи grad a?) dx dy + § Щ3?п бм]^ ds. (48)
0\-у If
Рассмотрим второй случай — конечное возмущение управления на множестве малой меры. Возмущенное управление
Ч (х, зОЄ?2\си,
U(X, VJ =
и(х, у) + v(x, у), (х, у) Є CO.
§ 27] ' ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ 453
Начнем с уравнения в вариациях, выписав возмущенное и невозмущенное уравнения в со и Q\со:
div (и grad Ж) = 0, div ((и + v) grad Ж) = 0,
div (и grad Ж) = 0, div ((u)grad 3?) = 0.
Вычитая, получаем уравнения для ЬЖ = Ж — Ж\
div (м grad ЬЖ) = 0 в Q\co,
(49)
div (v grad Ж) + div (и grad ЬЖ) + div (її grad ЬЖ) = 0 в со.
В последнем уравнении пренебрежем третьим слагаемым, так как оно имеет величину порядка О(є) на множестве со меры є.
Что касается условий на у, то их можно записать в форме
mv = 0, {(u + v) Жп}_ = {иЖп} + ,
[JTJv = О, {иЖп}_ = {иЖп}+.
Здесь индексами « — » и «+» отмечены предельные значения величин на 7 со стороны си и Q\co соответственно. Вычитая, получаем соотношения для уравнения в вариациях:
[ЬЖ\ = 0, {и ЬЖп}_ + {у ЬЖп}_ + {ьЖп}_ = {и ЬЖп]. (50)
Используем тождество Лагранжа в форме (47). Дальнейшие преобразования носят стандартный характер, отличаясь от того, что было раньше, только другой формой уравнений в вариациях (49), (50).
В силу (49) и (50) левая часть (47) приобретает вид
— И.^ c^v ^rac* ^ '
Oi
Интеграл по Г в правой части (47) с учетом краевого условия для Ф и ЬЖ |г = 0 превращается в 6F. Второе слагаемое интеграла по 7 обращается в нуль (в силу непрерывности ЬЖ на 7 и условия [иФ„] =0). Первое слагаемое этого интеграла преобразуется с учетом непрерывности W на 7 и уравнений (50) следующим образом:
[4>и ЬЖ=W- [и ЬЖп]^=Ч>{(ь ЬЖп)_ + (varn)_) ъч>-(уЖп)_.
Пренебрегая первым членом как малой более высокого порядка по сравнению со вторым, получаем
6.F[6u(-)] = — Wdiv (vgrad Ж) dx dy + ф Ч'(уЖп)_ ds.
<0 V
454
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
§ 28. Задачи оптимального управления
Математическая теория оптимального управления начала бурно развиваться с начала шестидесятых годов. Истоки этой дисциплины лежат в классическом вариационном исчислении, но процесс математизации разнообразных прикладных наук привел к постановке задач, вариационных по своей сути, но не укладывавшихся в старые рамки. Особую роль в становлении теории оптимального управления сыграли ракетостроение и теория автоматического регулирования (как источники новых типов задач) и работы математиков, под руководством JI. С. Понтрягина, в которых была выделена общая постановка задачи и получен основной теоретический результат — принцип максимума.
В настоящее время имеет смысл рассматривать задачи оптимального управления как задачи математического программирования в функциональном пространстве. И с этой точки зрения постановка задачи не отличается от рассмотренной в § 26. Требуется найти функцию и, обеспечивающую
min F0[u] (1)
при условиях
г = 1,2, т, иЄ.и. (2)
(Каждое условие может иметь и форму Fi = 0.) То обстоятельство, что и — это элемент функционального пространства, приводит к включению в форму (1), (2) различных задач, имеющих свои особенности. Начнем с конкретного примера.
Задача о подъеме ракеты. Движение ракеты описывается тремя функциями: m(t) — масса, h(t) — высота, v(t) — скорость. Изменение этих величин определяется системой дифференциальных уравнений
m — h=v, v = — g + [Vu — Qe~ah(v)2]/т, (3)
дополненных данными Коши т(0) = 1, Л(0) = 0, v(0) = 0. Величины g, V, Q, а, входящие в систему (3), — некоторые заданные-постоянные. Функция u(t) задает режим горения топлива. Ее нужно найти, с тем чтобы наилучшим образом выполнить стоящую перед управляемой системой (ракетой) задачу.
Ракета — управляемый объект, возможности управления которым ограничены выбором функции u(t). Естественно, возникают ограничения на возможности выбора. Обычно их обозначают общей формой и Є U. В данном случае эта абстрактная форма принимает
вид 0 < u(t) < м+, V t, где M+ — техническое ограничение скорости расхода топлива. Цель управления — получить max h(T) при уело-
§28]
ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
455
вии т(Т) = m0 (Т, т0 заданы). Итак, ставится задача достижения в момент T наибольшей высоты при заданном запасе топлива.
Общая задача оптимального управления. Приведем обобщенную формулировку вариационных задач подобного типа. Имеется управляемая система, состояние которой в момент времени t описывается фазовым вектором x(t) (размерности р). Эволюция состояния системы во времени описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений
