Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
ФИ +ФиИ bu{t) JS 0, V t.
Разумеется, надо внести соответствующие изменения во все элементы техники вычисления функциональных производных (дифференцирование по 6й с учетом связи (19)). В частности, уравнение в вариациях преобразуется так:
Ьх — fx[t] bx + fu[t] Ьи = [fx[t] + fu[t] С(г)} Ьх + fu[t] 62(f).
Остальное преобразуется таким же образом.
Что касается уравнения (20), то искомая матрица С есть матрица типа dim и-*dim х, т.е. она содержит dim u-dim х неизвестных элементов. Само же уравнение (20) есть (так как Ф — скаляр) dim х скалярных уравнений. Стало быть, это есть переопределенная система. Нас устраивает любое ее решение. Несколько сложнее случай, когда условие Ф ^ 0 векторное. Тогда стандартной является ситуация, при которой в каждый момент времени (из всех условий Ф[х(ґ), и (і) j не более dim и являются активными (они реализуются в виде равенства, остальные — в виде строгого неравенства, их можно игнорировать) и уравнений в (19) становится не больше, чем неизвестных.
§ 29. Вариационные задачи механики с недифференцируемыми функционалами
Очень многие задачи механики имеют вариационную формулировку. Это связано с такими фундаментальными в естествознании идеями, как принцип наименьшего действия, особое значение состояний с минимальной энергией и т.п. Таким образом получаются задачи, с математической точки зрения имеющие вариационный характер. Определено некоторое пространство U и на его элементах и — функционал F(и). Требуется определить элемент и*, решая задачу
minF(u). (1)
“єі/
Иногда то же самое записывают в виде и* = arg min F(и).
§29]
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
471
В классической механике такие задачи возникали весьма часто. При этом формулировка и Є U включала в себя указание о числе производных у допустимых функций, для которых определено вычисление F, й о краевых условиях, которым они должны удовлетворять. В наше время все чаще возникают задачи типа (1), в которых в формулировку и Є U включается, например, условие положительности функции и. В абстрактном представлении это оформляется как требование и Є К, где К является не линейным пространством, а, например, выпуклым замкнутым конусом. Разница между линейным пространством и конусом состоит в том, что если два элемента U1 и и2 принадлежат пространству, то ему же принадлежит и любая их линейная комбинация Ctu1 + fiu2 (а, р — скаляры). Конусу такая комбинация принадлежит только при неотрицательных а, р. В частности, множество положительных функций образует выпуклый конус («положительный квадрант» в бесконечномерном пространстве).
Кроме того, в классической механике обычно функционал F(и) был дифференцируемым в смысле Фреше, т.е. при малом возмущении элемента и имеет место формула
F(и + 6и) = F(u) + Fu(U) Ьи + 0(||6и||2).
Линейный функционал Fu(u) есть производная Фреше от F в точке и (мы не останавливаемся на вопросе о том, в какой норме мало возмущение ди). В этом случае задачу можно решить не только в вариационной форме (1), но и используя необходимое условие экстремума Fu(u) = 0. Это уравнение обычно называют уравнением Эйлера для вариационной задачи (1). Например, известная задача Дирихле допускает две формулировки:
I) min j j (и\ + ир dx dy; 2) Au = 0, и Є U. (2) иєи G
Здесь U — пространство функций, удовлетворяющих следующим условиям: .
а) и принимает заданные значения на dG;
б) и непрерывна и имеет первые производные, ограниченные в норме L2; вторая формулировка задачи предполагает существование вторых производных.
В современной науке все чаще возникают задачи (1), в которых функционал F(и) не имеет производной Фреше. Он дифференцируем в более слабом смысле Гато, т.е. лишь по направлениям в функциональном пространстве. Другими словами, для любого возмущения ev, такого, что и + ev Є U, V є > 0, имеем
F(u + tv) = F(u) + tF'(u, v) + o(t).
472
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
При этом U считают конусом, a F1 (и, v) называют производной F в точке и по направлению v. Введем конус V, включающий такие элементы, для которых и + ev Є U при достаточно малом ? > 0. Этот конус V может быть своим для каждой точки и, т.е. его следует обозначать V(и), и необходимое условие экстремума принимает форму так называемого вариационного неравенства: функция и является решением задачи, если
F(u + v)^F(u) для всех V Є V(u),
или
F'(и, и) 3*0, VvG V(u).
Приближенные методы решения задач, сформулированных как вариационные с недифференцируемым по Фреше фукционалом или в терминах вариационного неравенства, в настоящее время делают первые шаги. В этой области открывается широкое поле для создания эффективных вычислительных методов. Однако это достаточно трудная область, она требует использования неклассических методов линейной алгебры, в частности алгоритмов линейного программирования (алгоритмов решения задач типа (26.1), линейных, но содержащих условия-неравенства).
Заметим, наконец, что часто функционалы F (и) «почти всюду» имеют обычную производную Фреше: они дифференцируемы только в смысле Гато в очень редких точках и. К сожалению, именно таковыми являются искомые решения (и близкие к ним точки). Простейший пример F(и) = I и I поясняет это замечание. Обратимся к некоторым характерным конкретным задачам.
