Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Проследим и формально опишем процесс формирования сил в какой-то фиксированный момент времени. Движение мы не рассматриваем, поэтому речь идет о следующей цепочке вычислений.
Рассмотрим совокупность частиц, имеющих заряды дк и координаты {Хк, Yk) (к = 1, 2, ..., К).
Первая операция — расчет плотности рt т в узлах эйлеровой сетки. Отвлечемся от конкретного способа, связанного с той или иной формулой распределения заряда в облаке. Ведь в любом случае заряд к-й частицы дк распределяется по узлам сетки в соответствии с некоторой функцией Q(l, т; X, Y) таким образом, что вклад к-й частицы в заряд в точке (I, т) есть р[kIl = дк Q(l, /n; Xk, Yk), а полный заряд в точке (I, т) есть, очевидно,
к
Pt, т = 2 4kQ(1’ m'’Xk’Yk)' (10)
A = 1
В дальнейшем мы обсудим необходимые свойства функции Q.
Вторая операция — решение уравнения Пуассона (7). Уравнение дополняется условиями периодичности — это важное для дальнейшего обстоятельство. Оно означает, что все двумерное пространство заполнено частицами, положения и скорости которых периодически (по х, у) повторяются. Поэтому никаких других сил, кроме сил взаимного электростатического отталкивания (притяжения) частиц, в системе нет. Учитывать можно только взаимодействия частиц, расположенных в одном прямоугольнике в пространстве х, у, сторонами которого являются периоды по х, у соответственно. Действие всех остальных частиц учитывается периодичностью потенциала.
13 — 1833
386
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
Если бы мы рассматривали уравнение Пуассона с какими-то другими условиями, например с заданными значениями <р на границе, это означало бы наличие внешних сил. В такой системе импульс не обязан сохраняться. Решение разностного уравнения Пуассона может быть выражено через разностную функцию Грина:
1Pu = Hg^ ш; Pu- (11)
І. у
Это очевидный факт. Функция G(l, т; i, j) — просто матрица, обратная к матрице разностного оператора Лапласа. Здесь и в дальнейшем мы не будем аккуратно выписывать пределов суммирования: оно ведется по одной ячейке периодичности (или, если угодно, на торе). Мы обсудим свойства G ниже, пока же оставим запись преобразования р в <р в самой общей форме. Очевидно, потенциал всей системы частиц есть сумма потенциалов, порожденных каждой частицей:
= E °(1' т’ *’ ЇЇ Рл)- 2)
У
Третья операция — вычисление сил (градиента <р) в узлах сетки. Ограничимся только одной компонентой силы, так как для другой все будет точно так же. Итак, пусть сила /(- • есть — <рx(Xj, yj). В разностной реализации любая аппроксимация может быть записана в общем виде:
fiJ = '2F(i’ І’’ l’ Vl,m- (13)
/, т
Четвертая операция — вычисление силы, действующей на частицу с зарядом q, расположенную в точке (х, у). Это достигается процедурой интерполяции сеточной функции Zi j в точку (х, у), которую можно записать в виде
S(x, у) = q 2 І(х, у; і, /') ftJ. (14)
і, У
Если нам нужно подсчитать силу, действующую на г-ю частицу со стороны &-й, необходимо провести следующую цепочку преобразований:
S(Xr, Yr; Xk, Yk) = qrqk ? I(Xr, Yr; і, j) X
І. J
X ^ F(i, j; I, m) 2 G(l, m; p, s) Q(p, 5; Xk, Yk) =
I, m p, s
= qrqk I(Xr, Yr; •) F(*; *) G(*; #) Q(#; Xkt Yk). (15)
§24]
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЛАСОВА
387
Здесь •, *, # — символы «немых» индексов, по которым произведена свертка. Сила S(Xr, Yr-, Xk, Yk) есть элемент (г, к) матрицы, являющейся произведением некоторых других матриц.
Введем CnD — пространства функций, определенных в точках {х, у} и'{/, т} соответственно. Алгоритм интегрирования уравнения Власова определяется при конкретизации следующих операторов:
Q-. C-* D — оператор «раздачи заряда» (из точки (х, у) в узлы сетки);
G: D-* D — разностный оператор Грина, обратный к оператору Лапласа с периодическими условиями;
F: D-* D — оператор вычисления первой разностной производной; 7: D-* С — оператор интерполяции силы с узлов сетки на произвольную точку.
Таким образом, 5 есть оператор типа C-* С, а действие к-іл частицы на r-ю есть (множитель qrqk опускаем)
S(Xr, Yr-, Xk, Yk) = (IFGQ)r k.
Тогда действие г-й частицы на к-ю есть
S(Xk, Yk; Xr, Yr) = (IFGQ)k r= (IFGQYr k = (QtGtFtT)r k.
Для того чтобы в системе частиц был справедлив закон «действие равно противодействию» и, как следствие, сохранялся импульс, нужно обеспечить соотношение
QtGtFtI' = -I FGQ. (16)
Используем следующие почти очевидные свойства операторов.
а) Gt = G (следствие самосопряженности оператора Лапласа в классе периодических функций). Ббльшая часть разностных аппроксимаций оператора на равномерной сетке автоматически наследует это свойство, хотя при желании его можно и нарушить, не потеряв аппроксимации.
б) F* = -F (следствие кососимметричности оператора д/дх). Аппроксимация типа (9), как нетрудно проверить, сохраняет это свойство; аппроксимация (df/dx)i = (fi — fi_l)/h его нарушает:
(a//dx)‘ = -(/i+1-/.ул.
в) FG = GF (следствие перестановочности операторов д/дх и Д). Это свойство наследуется использованными выше разностными аналогами операторов.
