Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
т.е. Ф(м) — Ф(и + 6м) ^ 11*11 ||6м||. Следовательно,
|Ф(м + 6м)-Ф(м)И||*|| ||6м||.
\
Для того чтобы квазирешение представляло интерес с прикладной точки зрения, оно должно обладать важным свойством — непрерывной зависимостью от правой части /. Это свойство обеспечивается при дополнительных требованиях к компакту М.
Определение 2. Компакт M называется множеством корректности в смысле Тихонова, если существует такая функция скалярного аргумента со(|), что:
а) Iim со(|) = 0;
I=-O
б) для любых двух элементов и' Є M и м" Є M имеет место соотношение
Ilм” — м'И ^ со(||*м" — Ки'\[). (7)
Определение 3. Задача Ku — /, м Є M называется корректной в смысле Тихонова, если:
а) априори известно, что существует ее единственное решение;
б) компакт M является множеством корректности этой задачи.
§25]
НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ
399
Поясним смысл этих определений. Прежде всего подчеркнем, что в (7) используются обычные нормы, например нормы в L2. Из определений следует, что если правые части /', /" брать из множества N = KM, то соответствующие им решения и', и" мало отличаются друг от друга при малом отличии /', /":
\\и" — и'\\ S* со (11 /" — /'Il). Другими словами, «сужение» задачи на множество N делает ее корректной. Однако решению подлежит задача, в которой f (? N.
Теорема 2. Пусть задача К и= / корректна в смысле Тихонова и M есть ее множество корректности. Тогда квазирешение непрерывно зависит от правой части /.
Уточним суть дела. Предполагается, что существует точное решение U1 Є М. Ему соответствует точная правая часть fT = KurGN. Известна правая часть /, близкая к /т в обычной норме: ||/ — /т|| « 6, где 6 — малое число. Однако в сильной норме типа (3) погрешность в правой части бесконечна. Пусть найдено квазирешение uq. Теорема утверждает, что || Uq — ит|| -» 0 при 6 -» 0. Перейдем к доказательству.
Доказательство. Введем f = Kuq Є N и оценим
II/, -/тИ Wfq-f U + Wfr- /11-
Второе слагаемое в правой части оценивается величиной 6. Оценим первое:
II/, - /II = 11*«, - /II = min 11*« - /II < 11*4 - /II = 11/т - /II * 6-
ием
Итак, Wfq — /т|| ^ 26 и в силу (7) имеем Ци^ — ит|| ^ ш(26), так как fq Є N и /т Є N. Теорема доказана.
Множество корректности в задаче Адамара. Поясним технику построения множеств корректности в конкретной задаче (2). Удобно обозначить Хк = еклТ. Это собственные значения оператора К~1, если задачу (2) представить в виде Ku = /. Сначала покажем, что множество M функций I и(х) I ^ 1, х Є [0, 1], множеством корректности не является. (Напомним, что искомая функция и(х) служит начальными данными для обычной задачи теплопроводности, решение которой в момент времени T должно совпасть с заданной функцией /(*).)
Возьмем и'(х) ?= 0, и"(х) = sin (&лх). Им соответствуют функции из N = KM, /' = 0, /" = Xj1Sin(^Jix). Итак, ||и" —и'|| = 1,
II/" — /'И = e~kZ^T. Нельзя построить никакой требуемой в определении 2 функции со(^), такой, что
1 = ||и" - и'|| ^ со(||/" - /'ID = 0)(«r*Vr).
400 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ [Ч. II
Определим теперь множество M условием Il Mj-(X)II « 1 (кроме того, есть еще и условия и(0) = и( 1) = 0). Рассмотрим функции /' и
/" из N. Пусть ак, Ьк — их коэффициенты Фурье. Обозначим рассто-
яние между ними 6 (ради простоты, ниже мы будем иметь дело с квадратами расстояний):
J(bk-ak)2=b2. (8)
A = I
Принадлежность /' и /" множеству KM (т.е. K~lf Є М) означает выполнение неравенств
і. -2S *г*з»г«1. <’>
jt = I Jt = I
Функциям /' и /" соответствуют элементы и’, и", коэффициентами Фурье которых являются числа Xkak и Xkbk. Расстояние между ними есть
\\и" - U1W2 = J Х2(Ьк - ак)2. (10)
*=1
Коэффициенты Фурье производных и'х, Ux суть kXkak, кХкЬк. Неравенства (9) выражают принадлежность /', /" множеству
N= КМ.
Оценим (10), используя (8), (9). Выберем некоторое число т и воспользуемся следующей из (9) оценкой
xWk ** 1/(л2к2), Х\Ь\ ^ 1/(я2к2).
Имеем
°° т «>
2 xI(^-flJt)2ssS xK^-flJt)2 + 2 2 xKaI + bD- (п)
AaesI A = I к — т + 1
Второе слагаемое в правой части (11) оценим так:
? Ш + І
k = m+1 к = m +1
Первое слагаемое оценим, используя (8):
CO Hl
2 х1(Ьк - ak)2 ^X2mJ (Ьк - Uk)2 =S Х2тЬ2. (12)
*=і jt=i
Получаем О и" — и' ||2 ^ е2т п ТЬ2 +
I-L
.2 In'
§25]
НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ
401
Теперь нужно распорядиться числом т так, например, чтобы оба слагаемых в оценке были равны. Логарифмируя выражение егтгп Т^і _ 4/(я2т), приходим к уравнению для т:
<р(т) s am2 + In (62Jt2/4)+ In m = 0, а = 2ж2Т. (13)
Будем ориентироваться на задачу с T = 0.01, 6? IO-2. В этом случае а« 0.2, In (62л2/4}) « — 7.5. В первом приближении можно отбросить в формуле (13) для ip третий член, после чего уравнение решается: = [ — а~‘1п (62л;2/4)]1/2 (в примере т, « 6).
Однако это слишком грубый результат. При таком выборе т первый член в оценке (12) для ||и"—и'|| есть 0(1). Полученная оценка не дает права утверждать, что M есть множество корректности. Уточним корень уравнения <p(m) = 0 одной итерацией по Ньютону: т2 = т{ — <p(mj)/(p'(mi)- Очевидно,
