Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Следует отметить, что реализация подобных методов в первую очередь требует тщательной проработки алгоритма формирования соседей для каждой точки. Если оперировать только с той информацией, которая была введена выше (это минимально необходимая, но достаточная информация), придется в каждой к-й точке устраивать просмотр координат всех остальных точек. Это требует 0(К2) операций на каждом шаге интегрирования по времени, что слишком дорого и ограничивает число К. Поэтому приходится разрабатывать систему сопровождающей расчет информации, которая грубо разделяет точки на близкие друг к другу и при выборе соседей k-й точки существенно сужает необходимый перебор.
За малый шаг т координаты точек мало меняются, и сопутствующая информация, соответственно, корректируется. От удачного и остроумного решения этой достаточно сложной проблемы существенно зависит трудоемкость метода. Другое обстоятельство, стимулирующее совершенствование методов этого направления, — стремление обеспечить дивергентность схемы, т.е. наличие в дискретной системе прозрачных и естественных аналогов основных законов сохранения. В схеме, описанной выше, этого нет.
Вышеизложенная методика была использована для расчета сложных течений, сопровождавшихся сильной деформацией контактных границ, разделяющих газы с существенно различными физическими свойствами. Рисунок 40а дает представление об одной из таких задач. По газу идет мощная ударная волна, наталкивающаяся на твердое препятствие. (Хотя заштрихованная часть есть часть металлической конструкции, ее поведение описывается уравнениями газовой динамики в рассматриваемой задаче.) Рисунок 406 дает представление о последующем течении: показаны первичная ударная волна (которая в «твердом» теле движется медленнее, чем в газе), отраженная волна и сложная деформация контактной границы. Процесс сопровождается образованием мощной струи.
§24]
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЛАСОВА
377
§ 24. Приближенное интегрирование уравнения Власова
Уравнение Власова описывает движение совокупности большого числа заряженных частиц (ионов и электронов, например) в условиях, когда можно пренебречь столкновениями частиц и их взаимодействие определяется только электрическими силами. Это уравнение описывает события, пространственный масштаб которых много меньше длины свободного пробега и характерное время много меньше времени свободного пробега. Такие ситуации достаточно распространены в теории сильно разреженной плазмы, а их практическое значение связано с изучением, например, космического пространства, взаимодействия космических аппаратов с очень высокими (и, следовательно, сильно разреженными) слоями атмосферы и некоторых других вопросов.
В этой модели состояние плазмы описывается двумя функциями: fe(r, V, t) и /Дг, V, t). Здесь независимые координаты имеют следующий смысл: г = {х, у, z} — декартовы координаты точки пространства, трехмерная координата v = {vx, vy, vz} представляет координаты в импульсном пространстве, і — время, функции { е, Zi — плотности электронов и ионов. Таким образом, например, если мы выделяем в пространстве маленький кубик [г, г + Ar] и интересуемся числом частиц, содержащихся в этом кубике и имеющих скорости в диапазоне [v, v + Av], то оно выражается (в первом порядке) величиной / Ar Au.
Область фазового пространства г, v, которая нас интересует, обычно не ограничена по скорости, но функции / быстро спадают при |и| -» оо; можно ограничиться конечной областью IVI < V, поставив граничное условие f\\v\=v = 0. В пространстве область ограничена размером L = {Lx, Ly, Lz]. Будем предполагать, что по пространственным переменным все функции периодичны с периодом L (в такой постановке решается большое число задач, связанных с теоретическим изучением процессов в плазме).
В дальнейшем, ради простоты изложения, будем рассматривать двумерные задачи: г = {х, у], v— {t^, и^}. Уравнение Власова описывает эволюцию во времени функций / , /;:
378
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
Здесь ір(х, у, і) — потегіциал электрического поля; (—<р*, —<ру) — компоненты напряженности электрического поля. Потенциал ip определяется уравнением Пуассона
+ 00 +OO
Дір = 4л
Qe J /е(х, У, V, О dv + Qi J ft(x, у, v, t) dv
(2)
где qe, Qj — заряды электрона и иона; те, Ini — их массы. Система уравнений (1), (2) замкнута. Уравнение (2) называют уравнением самосогласованного электрического поля (в том смысле, что оно не задается расположением каких-то внешних зарядов, а создается участвующими в процессе частицами).
Существует альтернативная математическая модель, в которой рассматриваются отдельно все частицы. Движение каждой из них описывается уравнениями
W = vV = к *= 1, 2, К. (3)
‘к
Здесь к — номер частицы; qk, тк — ее заряд и масса; E — напряженность электрического поля, связанная с частицами тем же уравнением Пуассона
E = — grad ip, Aip = 4л р(х, у, t);
р — плотность заряда. В соответствии с моделью частиц
lPCr- 0 — 2 )r-rk(0 I ’ (4)
к
где qk!Ir — rk\ — потенциал, создаваемый к-м зарядом, находящимся в данный момент в точке rk(t).