Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
и(Т, х) — й(Т, х) = ^i 6к ек лТ sin (кпх)
к
и, очевидно, ||и(Г, •) — й(Т, -)11{/ ^ 6, т.е. если правые части мало отличаются в норме (3), то так же мало отличаются соответствующие им решения в обычной норме Il "Ili2- Конечно, обратная задача теплопроводности сама по себе от введения нормы (3) не изменилась. Просто предположение о том, что / мало отличается от / в норме (3) включает в себя очень сильные ограничения: все производные / мало отличаются от соответствующих производных /, и это отличие тем меньше, чем выше порядок производной.
Можно проверить, что, определив корму формулой
II^Iv (4)
п = 0
394
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
нельзя сделать обратную задачу теплопроводности корректной. Это следует из того, что еклТ растет быстрее км при любом N. Нормы (4) при небольших N = 0, 1,2 будем называть «обычными», «естественными». Норму (3) будем называть «сильной». Пространства, в которых используются сильные нормы типа (4) при N= <х>, в математике известны. Они связаны с изучением аналитических и, в частности, целых функций.
Если мы предположим, что обратная задача теплопроводности ставится так, что правая часть должна быть элементом пространства очень гладких (аналитических) функций, то она окажется достаточно благополучной задачей. Содержательно обратная задача теплопроводности связана, например, с попыткой по известному в настоящий момент распределению температуры тела восстановить его температуру в прошлом. Это распределение температуры /(х) известно не очень точно, с достаточно грубыми погрешностями. Если мы просто решим обратную задачу теплопроводности, то получим решение явно нефизического характера: в нем будут огромные пики отрицательных и положительных температур, которых в природе не бывает.
Предположим, что из общих качественных физических соображений с достаточными основаниями можно утверждать, что искомая температура и(Т, х) была не чрезмерно большой и достаточно простой функцией. Функция f(t, х) связана с и(Т, х) прямой задачей теплопроводности, т.е. если решить обычную задачу
vt = vxx< v(t> 0) = v(t, I) = 0,
с начальными данными v(0, х) = и(Т, х), то v(T, х) = f(x). Как известно, решение прямого уравнения теплопроводности есть очень гладкая, аналитическая функция при любых начальных данных и при всех t > 0, причем степень гладкости повышается с ростом вре- ; мени t.
Таким образом, сделанное выше предложение превратить обратную задачу теплопроводности в корректную, взяв в качестве пространства F очень узкое пространство функций, не так искусственно, как это могло показаться на первый взгляд. Оно оказывается достаточно естественным и, как мы увидим в дальнейшем, составляет основу методов решения некорректных задач. Ho беда в том, что реальная > функция/(х), которая получается физическими измерениями, включает в себя погрешности, которые выводят ее из пространства F.
Вот типичная картина в некорректных задачах. Для них исходная информация (правая часть /) состоит из двух компонент:
/ = /0 + 6/, причем /0 Є F, где F — узкое пространство очень гладких функций с нормой || • ||,,, в которой задача корректна. Погрешность измерения (или способа задания /) 6f ? F, она мала в ; естественной, обычной норме, например L2, т.е. ИSZHi « 6, где 6 —
§25]
НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ
395
малое число, но IIdZIIf= Таким образом, при решении некорректной задачи нужно каким-то образом «отфильтровать» влияние 6/.
Следующий характерный пример некорректной задачи — интегральное уравнение первого рода: і
J К(х, s) u(s) ds = /(*), х Є [0, 1], о
где К(х, s) — известное гладкое ядро. К таким уравнениям приводят задачи восстановления сигнала по некоторым измерениям. В этом случае искомая функция u(s) представляет собой первичный сигнал, f(x) — показание прибора, К(х, s) — так называемая «аппаратная функция», т.е. непосредственно в опыте измеряется не сам сигнал u(s), а некоторое его преобразование.
Характерным фактором, определяющим сложность такой задачи, является именно гладкость ядра К(х, s). Прямое преобразова-1
ние и-* /, т.е. J К(х, s) u(s) ds, обладает типичным свойством — о
это «сглаживающее» преобразование: оно преобразует негладкую функцию u(s) в гладкую. В этом можно убедиться следующим образом. Сравним между собой преобразования функций и(х) и и(х) + С sin (&лх). Очевидно, они отличаются друг от друга на функцию
і
С J К(х, s) sin ds = Cv.k(x),
о
где хк(х) — к-й коэффициент Фурье функции К(х, •). Известно, что если функция К(х, s) гладкая, то ее коэффициенты Фурье убывают с ростом к тем быстрее, чем более гладкая функция К(х, s).
Таким образом, интегральное преобразование с гладким ядром отображает широкое функциональное пространство (негладких функций) в очень узкое пространство (гладких функций). Это преобразование мы запишем в форме / = Ku. Ho нас интересует
обратное преобразование и = K~'lf. Оно обладает противоположными свойствами, отображая узкое пространство в очень широкое, и в этом, в сущности, причина некорректности задачи. P самом деле, функции и(х) и й(х) = и(х) + С sin (to), сколь угодно сильно отличающиеся друг от друга, являются решениями уравнений