Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Федоренко Р.П. -> "Введение в вычислительную физику" -> 156

Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.

Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику — М.: Физ-тех, 1994. — 528 c.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка): vvedenievvichesleniyah1994.djvu
Предыдущая << 1 .. 150 151 152 153 154 155 < 156 > 157 158 159 160 161 162 .. 210 >> Следующая


Ip(Zn1)=Inm1, Ifi1(Inl) =Iaml +IZml.

Так как мы рассматриваем все-таки значения 6<зс1, то m,»1 и можно упростить выкладки, полагая т2 = mt — In m,/(Iaml). Оценим первое слагаемое в (12), используя приближение т2:

exp (aт2) = exp

где р = [ In m1/(2am1)]2 — величина, пренебрежимо малая. Мы не будем доводить оценки до абсолютной строгости — это дело техники, не очень сложной, но громоздкой. Итак, имеем

exp (ami) S2 » exp (am2) 62 exp ^ In m,j =

= 5v6"exp

-j-ln [ — - In 2a I a 4

Таким образом, опуская несущественные детали, мы получили оценку типа

Il и" — и",

-'"2^ (І/In 6_1)1/2а.

Тем самым доказано, что условие ||иж(*)||^С определяет множество корректности для обратной задачи теплопроводности. Однако очень медленное стремление к нулю соответствующей функции со(|) при !=-»0 (см. определение 2) служит предостережением тем, кто на этом основании счел бы исследование задачи (2) законченным.
402

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ

[Ч. II

т

Совершенно ясно, что множество функций и(х) == 2 ак sin ( кжх)

* = 1

т

при условии 2 а\ =S А и любом заданном т является множеством кор-

A=I

ректности для задачи (2). Более того, соответствующая функция со(|) = Ci=, где С = ел тТ. Это настолько большая величина, что реально можно использовать соответствующее множество M лишь при очень малых m = 2, 3, 4 и в том случае, когда есть уверенность, что искомое точное решение может быть аппроксимировано с нужной точностью тремя-четырьмя гармониками.

Приближенное решение обратной задачи теплопроводности.

Дальнейшее знакомство с некорректными задачами удобно провести в более конкретной форме — в виде комментария к процессу приближенного решения модельной задачи обратной теплопроводности. Она конструируется просто. Возьмем относительно простую функцию ит(х) и решим прямую задачу теплопроводности ut = ихх ПРИ краевых условиях u(t, 0) = u(t, I) = 0 с начальными данными и(0, х) = ит(х). Полученную (численно) функцию и(Т, х) используем как начальные данные для обратной задачи. Полезно еще возмутить ее малой случайной погрешностью. Итак, построим функцию

/(•*) = и(х, Т) + 6(х), |6(*)|?б.

Теперь попытаемся решить обратную задачу. При построении модели надо достаточно разумно выбрать два числа: Гиб (уровень погрешностей). Значение 6 выбирается из таких соображений. Если найдена функция и(Т, х), то в качестве 6 можно взять, например, 0.01 среднего значения и. В дальнейшем, говоря о решении уравнения теплопроводности, мы имеем в виду приближенное решение, получаемое методом сеток с шагом h = 0.01 (по х) и с

шагом х « A2 (по t) при использовании самой простой, например явной, схемы.

Что касается Т, то обсуждаемые ниже расчеты проводились при T =0.01. Этот выбор может удивить читателя, но для рассматриваемой задачи время 0.01 не такое уж малое. Оценим, какие события могут произойти в задаче за это время. Если разложить начальные данные прямой задачи в ряд Фурье: ит(х) = ^l с к sin (кпх), то решение в момент времени t = T есть

и(х, Т) = ^i ске~к л т sin (&лх).
§25]

НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ

403

В табл. 13 приведены значения e~^^T для разных Тик. Видно, что время T = 0.1 является почти асимптотически большим. За это время из всех гармоник, входивших в начальные данные, «выжива-

Таблица 13

1 2 3 4 5 6 7 8
0.01 0.9 0.7 0.4 0.2 0.08 0.03 0.007 0.002
0.02 0.8 0.5 0.2 0.04 0.006 9-IO-4 5-Ю-5 3-Ю-6
0.1 0.4 0.02 IO-4 IO-7 10_П IO-16

ют» только две первых. За время T = 0.01 в системе, описываемой уравнением теплопроводности, происходят достаточно сложные события. Нетрудно сообразить, что функции м(0, х) и и(Т, х) достаточно сильно отличаются друг от друга. К обсуждению приведенных в табл. 13 значений мы вернемся чуть позже. На рис. 44 показаны функции и(0, х) и и(Т, х). Возмущенная функция f(x) = u(T, х) + 6(*) при 6 = 0.015 в таком масштабе не отличается от и(Т, х).

Итак, нам задана функция f{x) и мы предполагаем, что для обратной задачи f(x) отличается от точных «начальных данных» на величину, не превосходящую 0.015. Решение обратной задачи теплопроводности будем искать как решение задачи математического программирования. Требуется найти функцию v(x) («начальные данные прямой задачи»), такую, чтобы:

і

а) значение ^ q(x)v(x) dx было минимальным;

о

б) max |v(7\ х) — /(х)| =S 6;

ЛГ

в) var t>(‘) «? W.

Здесь v(T, x) — решение прямой задачи теплопроводности с начальными данными v{x). Речь идет о том, чтобы «подобрать» начальные данные прямой задачи так, чтобы ее решение в момент времени T попало в «коридор» шириной 6 около заданной функции /(*).

Мы знаем (по постановке задачи), что искомый ответ ит(х) порождает решение, попадающее в тот же коридор, и не собираемся извлекать из f(x) более точной информации. Мы отступили от рекомендаций метода квазирешений, согласно которому следовало бы выбирать функцию v(x) такой, чтобы минимизировать ||t>(7\ •) — /(-)11- Оба

и(0,х) і і

*>*/<*>

Рис. 44
404

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
Предыдущая << 1 .. 150 151 152 153 154 155 < 156 > 157 158 159 160 161 162 .. 210 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed