Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Федоренко Р.П. -> "Введение в вычислительную физику" -> 149

Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.

Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику — М.: Физ-тех, 1994. — 528 c.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка): vvedenievvichesleniyah1994.djvu
Предыдущая << 1 .. 143 144 145 146 147 148 < 149 > 150 151 152 153 154 155 .. 210 >> Следующая


но сначала нужно с каждым узлом связать величину pf+J — плотность заряда. Напрашивается такой способ: возьмем ячейку размером h х h с центром в точке (X1, ут), посчитаем сумму зарядов частиц, находящихся в ней в момент tn + l, и ПОЛОЖИМ Pf +J = QkIh2.

Первые же попытки расчетов показали существенный дефект такого подхода. При относительно небольшом числе частиц, приходящихся на каждую ячейку (10 частиц — это уже хорошо), плотность принимает лишь дискретные значения: g/h2, 2q/h2, ... Кроме того, она разрывно зависит от положений частиц. Если частица пересекает границу ячейки, плотность в смежных с этой границей ячейках резко изменяется, следствием чего является изменение напряженности поля Е. Движение частиц становится нерегулярным, проявляются колебания явно счетного, а не физического характера.

Выход был найден в том, что точку (Xnk, Ynk) стали трактовать как положение центра некоторого заряженного облака малого размера, например 3h х 3/г. В каждой из 9 ячеек h х h этого облака плотность заряда считалась постоянной. При вычислении P1 т определялась часть облака, попавшая в связанную с точкой (I, т) ячейку Л х Л, и в эту точку «передавалась» соответствующая часть заряда облака. Кстати, кусочно-постоянная плотность в облаке использовалась для того, чтобы облегчить необходимый подсчет.

После вычисления PnlW решается уравнение (7). Это наиболее трудоемкий элемент алгоритма. Используются наиболее эффективные методы, в частности метод Фурье, реализованный в форме быстрого дискретного преобразования Фурье, являющегося одним из фундаментальных алгоритмов современного численного анализа. Его развитие связано с решением рассматриваемых здесь задач. Он будет подробно описан ниже.

Вычисление скоростей производится из очевидной аппроксимации уравнений (3):

(*P/+i, m — m) + (tPzi m+i 2<pl т + <f>iіПІ~і) 4лрnJh2,

(7)

уп+ 3/2 уп+1/2

к к

T

Здесь нужно еще определить силы, действующие на облако. Напомним, что E= — grad (р.
384

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ

[Ч. II

Имея yin в узлах сетки, можно определить в узлах значения

фИ+1 ____т”-*"! _О)”"***

/Zr ^n +1 __ ___ TJ+1, от т/—1, т / /7 4 11+1 _ __ от+1 т/, m-l

— 2h ’ Упуп,т — 2h • ' '

Опыт показал, что силу, действующую на к-е облако, нужно вычислять достаточно аккуратно. Например, с помощью интерполяции можно определить функцию Е(х, у). При вычислении правых частей уравнений (8) интегрируется функция д(х, у) Е(х, у) по облаку с учетом распределения заряда в нем. Это достаточно сложная процедура, но при упрощенном вычислении правых частей (8) проявляются нежелательные счетные эффекты. Анализ привел к пониманию вызывающих их причин и к упрощению техники конструирования расчетных схем, свободных от таких дефектов.

Отметим еще один момент, связанный с назначением для расчетов масс и зарядов макрочастиц. При моделировании явлений в плазме каждая макрочастица представляет IO10 -j- IO15 реальных частиц, заряды и массы которых — хорошо известные физические константы. Какими же брать при моделировании массы и заряды макрочастиц? Естественный ответ «их нужно брать в IO10 -г- IO15 раз большими реальных» оправдан еще и тем, что, как нетрудно проверить, в такой «макроплазме» значения характерных величин (периодов электронных и ионных колебаний) оказываются теми же, что и в реальной плазме.

Расчетная схема с законом сохранения импульса. Выше была описана схема, в которой преодолен один самый грубый недостаток, — флуктуации плотности, появляющиеся при примитивной технике расчета плотности в счетном узле сетки. Следующим щашм было построение схем с более тонким свойством — сохранением импульса. Поясним суть проблемы. Мы имеем дело как бы с набором твердых частиц, обладающих в некотором смысле пространственной структурой. Ho эта структура сказывается только на формулах вычисления сил, действующих между частицами. Реализуется следующая цепочка зависимостей. Положения частиц определяют плотность заряда в узлах сетки; заряд определяет потенциал <р в узлах; потенциал определяет силу, действующую на частицы, находящиеся в каких-то точках пространства; в данной схеме центр частицы движется по тем же законам, что и «точка».

Итак, речь идет о системе точек, между которыми действуют силы, вызывающие их движение. А плотность заряда, потенциал — промежуточные объекты, облегчающие вычисление сил по сравнению с физической моделью плазмы, как совокупности заряженных, частиц с обычным электростатическим потенциалом. В этой «чистой» модели взаимодействующих частиц действуют известные законы, в частности закон сохранения импульса, являющийся следстви-
§24]

ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЛАСОВА

385

ем известного закона Ньютона: если частица а действует на частицу Ъ с силой F, то частица b действует на частицу а с силой —F. Следствием этого является отсутствие «самодействия»: если частица в системе только одна, на нее никакие силы не действуют.

В первых схемах метода облаков (или макрочастиц), составленных так, как было описано выше, был обнаружен недостаток: при единственной частице образовывалось поле, действующее на нее, и частица начинала движение, являющееся чисто счетным эффектом. Расчетная схема не обладала законом «действие равно противодействию», т.е. законом сохранения импульса, что порождало нефизические эффекты. Конечно, формально такие эффекты исчезающе малы при возрастании числа частиц, но реальные расчеты приходится проводить при не столь уж большом числе частиц. И если есть возможность избавиться от такого эффекта, это следует сделать. Изложим прежде всего способ анализа схемы метода макрочастиц с точки зрения закона Ньютона «действие равно противодействию».
Предыдущая << 1 .. 143 144 145 146 147 148 < 149 > 150 151 152 153 154 155 .. 210 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed