Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Федоренко Р.П. -> "Введение в вычислительную физику" -> 148

Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.

Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику — М.: Физ-тех, 1994. — 528 c.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка): vvedenievvichesleniyah1994.djvu
Предыдущая << 1 .. 142 143 144 145 146 147 < 148 > 149 150 151 152 153 154 .. 210 >> Следующая

§24]

ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЛАСОВА

381

деляющим считается сам факт, что ионы намного тяжелее электронов и что за один ионный период электрон совершит «много» колебаний. А сколько именно, не так уж важно.

Дифференциальные свойства функций f (г, v, t). Заметим, что в уравнениях отсутствуют какие-либо диссипативные (сглаживающие) факторы и, наоборот, существуют факторы, приводящие к очень негладким функциям, особенно по переменным V. Это можно пояснить следующим образом. Как уже отмечалось, значения / сохраняются на характеристиках. Пусть при t = 0 заданы гладкие функции f(r, у, 0). Фиксируем при каком-то t точку г0 и рассмотрим f(r0, v, t) как функцию только v. В точках с близкими значениями V могут оказаться (и фактически оказываются) частицы (характеристики), пришедшие из разных начальных точек и принесшие с собой разные значения /. Поэтому график / приобретает после некоторого времени (большого, но еще не настолько, что расчет можно прекратить) «пилообразный» характер. Это — не неустойчивость (никакой катастрофы нет), а просто потеря гладкости решения, свойственная самим уравнениям.

Попытки решения уравнения Власова методом конечных разностей были не очень успешными (в сложных задачах), что, конечно, существенно связано и с тем, что сетки приходилось брать относительно скромные. Однако в задачах с учетом столкновений (в правую часть уравнения Власова (1) добавляются интегралы от / по импульсному пространству — так называемые интегралы столкновений) ситуация более благоприятная. Столкновения — это диссипативный процесс, приводящий к сглаживанию функций /. Ho здесь, к сожалению, появляется другая трудность — вычисление интегралов столкновений.

Модель частиц. Первые попытки расчета явлений в бесстолкно-вительной плазме предпринимались на основе модели взаимодействующих частиц (3), (4), и они были достаточно успешными, пока можно было ограничиться небольшим числом частиц. И алгоритмов изобретать не приходилось: ведь модель (3), (4) — это просто задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений только довольно большого порядка. Можно было пользоваться обычными методами интегрирования задачи Коши.

Однако приложения быстро потребовали существенного увеличения числа частиц. Тут возникли трудности и весьма существенные. Первая и, видимо, важнейшая из них — рост числа операций. В самом деле, мы имеем дело с большим числом К частиц (в современных расчетах К порядка IO3, IO4, IO5), попарно взаимодействующих друг с другом. Следовательно, вычисление правых частей (сил) «стоит» 0(К2) операций. Конечно, существенное влияние на движе-
382 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ [Ч. II

ние данной частицы оказывают ближайшие к ней; действие остальных можно учитывать более грубо. Ho как это сделать? Ведь даже само определение того, какая частица близка к данной, какая нет, требует (если не применять каких-то алгоритмических изобретений) такого же примерно объема вычислений, что и прямое вычисление всех сил.

Вторая трудность — малый шаг по времени. Он часто определяется постоянно происходящими сближениями небольшого числа частиц на столь малые расстояния, при которых силы их взаимодействия быстро меняются, движение приобретает сложный характер и требует слишком малого шага интегрирования. И этот шаг навязывается всей системе, хотя движение большинства частиц можно было бы интегрировать с гораздо большим шагом.

Указанные выше сложности построения расчетной схемы как на базе уравнений в частных производных (1), (2), так и на базе модели частиц (3), (4) привели к некоторому их синтезу, который и стал основой дальнейших конструкций, успешно применяемых для расчета сложных явлений в плазме.

Метод заряженных облаков. Наиболее успешным методом численного решения уравнения Власова является метод «облаков в ячейках», или метод «макрочастиц». Изложим его основную вычислительную схему. Состояние плазмы будем описывать следующими функциями.

1. Потенциал <р)‘ т определяется в узлах некоторой фиксированной сетки в пространстве х, у (п — временной индекс; I, т — пространственные индексы). Величину IpJ1m мы трактуем как значение <р в точке (X1 = lh, ут = mh, tn).

2. «Макрочастицы» нумеруются индексом к. Каждая частица характеризуется следующими величинами: Xnk, Ynk — положение частицы; UT112, Vl+112 — компоненты ее скорости в момент t + х/2; mV — масса и заряд частицы. Отметим, что скорости относятся не к моменту tn, а к полуцелому моменту tn+l/2-

Опишем стандартный шаг процесса интегрирования, при котором информация {<р'\ Xn, Yn, Un+iJ1, У'1+1/2} переходит в данные на следующем (п + 1)-м слое {<p”+1, Х”+1, Уп+1, ип+312, Vn+3/2}. Наиболее популярна схема «leap frog» (у нас ее называют «чехардой»). Расчет начинается с вычисления новых положений X1I+1, Yk+l в соответствии с уравнениями характеристик (3):

(XT1-Xj)Zx = UT112, (YnTi-Ynk)Zx=VnT112 (6) (схема второго порядка точности).
§24]

ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЛАСОВА

383

Вычислим потенциал <pk+m в момент времени tn+l. Он определяется из уравнения Пуассона, аппроксимированного по обычной разностной схеме:
Предыдущая << 1 .. 142 143 144 145 146 147 < 148 > 149 150 151 152 153 154 .. 210 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed