Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
При определенных условиях, когда нас не интересуют детали, имеющие пространственный размер порядка так называемого деба-евского радиуса (и меньше), можно считать, что поле определяется уравнением Пуассона, а плотность р(х, у, t) определяется как «предел» при стремлении к нулю некоторого объема со, окружающего точку {х, у}:
р(х, у, 0 = Iim ? <7*/М »
""О ш
где 2 — сумма зарядов частиц, попавших в этот объем.
CO
Предел в вышеприведенной формуле надо понимать «физически» в следующем, например, смысле. Пусть со — квадрат размером h,
т.е. I ш I = h2. Тогда можно ввести величину рл = 2 Q J ^ри
§24]
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЛАСОВА
379
уменьшении h эта величина как-то меняется, приближаясь к некоторому пределу р(х, у, t), и при h,< h< И* (где ht«h*) более или менее совпадает с этим пределом. В дальнейшем (при h«ht) величина рн начинает беспорядочно и весьма ощутимо меняться — начинает сказываться дискретное строение вещества, в объеме со оказывается уже слишком мало частиц, и, конечно, никакого математического предела не существует.
Дифференциальные уравнения пишутся именно для относительно устойчивых значений ph, h Є (h„ h*). Используя эти уравнения, мы неявно предполагаем, что интересующие нас явления описываются подобными функциями, причем они гладкие относительно шага Я:®» Л*, т.е. мало меняются при изменении аргументов на Н. Вообще, доверие к уравнениям, убеждение в том, что они описывают реальную действительность, держится не столько на строгости их вывода, сколько на опыте успешного их применения в анализе различных физических ситуаций.
Характеристики уравнения Власова. Постановка краевых задач. Две модели разреженной плазмы (модель (1), (2) в терминах полей /, ip, р, E и модель частиц (3), (4)) тесно связаны друг с другом и с чисто математической точки зрения. Покажем, что траектории частиц являются характеристиками уравнения Власова и что вдоль этих характеристик значения / , Zi сохраняются.
Пусть функции /е(г, V, t), /j(r, V, t), ip(r, t), E(r, t), р(г, t) — решение уравнения Власова. Тогда на этом решении могут быть определены траектории системы (3): функции Re(t, R0, F0) и Ve(t, R0, Vr0), где R0, V0 — данные Коши при t = 0. Определим на этой траектории функцию
/ДО =/*(*(*, я°. ^0). V(и R0, V0), t).
Индекс е указывает, что рассматривается система (3) с «электронными» параметрами д и т. Из той же точки (R0, V0) выходит и «ионная» характеристика, вдоль которой сохраняется значение /;.
Вычислим производную Je по V.
dt dt dr Sv df ^ ’ Sr J m ^ ’ dv
Производная djjdt = 0, так как /е удовлетворяет уравнению Власова. Итак,
fe(R(t, R0, V0), V(t, R0, V0), t) =/е(Я°, F0, 0).
380
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
Перенос значений / вдоль характеристик имеет определенные неприятные последствия, которые обсуждаются ниже. Пока же мы используем картину характеристик для пояснения математической структуры тех краевых задач, постановка которых является корректной.
Граница области разбивается на две части в зависимости от знака скалярного произведения (U, N), где N — 6-мерный вектор внутренней нормали к границе, a U — 6-мерный вектор скорости характеристики в данной точке, т.е. U — {v, qE} (это разбиение различно для электронов и ионов). Там, где (U, N) > 0, характеристики входят в область извне; на этой части границы нужно задавать краевое условие, например значение /, соответствующее входящей характеристике. Там, где (U, N) < 0, характеристика приходит на границу изнутри области, и краевое условие не ставится. Если, например, область является прямоугольной (О =S л: =S Lx, O^ у ^ Ly, 0 ^ z ^ Lz), то часть границы х = 0 разбивается на две области: при vx > 0 нужно задавать значения f е, /;, при vx < 0 никакие краевые условия на ставятся. Что касается краевых условий для <р, то здесь мы имеем стандартную для оператора Лапласа ситуацию.
Отметим основные особенности уравнения Власова, определяющие трудности его численного решения.
1. Высокая размерность задачи. Если нас интересуют задачи двумерные с точки зрения геометрического пространства, т.е. задачи в (х, у), то, естественно, появляются две импульсные координаты (vx, vy) и события развиваются в области четырехмерного фазового пространства. Даже при миллионе узлов шаг сетки по каждому направлению будет порядка 1/30 линейного размера.
2. Наличие разных масштабов времени. На электроны и ионы действует одна и та же сила, но массы их существенно разные, соответственно различны их ускорения и характерные масштабы времени. Самый легкий ион (водорода) примерно в 1800 раз тяжелее электрона. В плазме явления носят обычно колебательный характер, и в ней имеются характерные частоты (или периоды):
сое = ylAnneq2e/me, хе = 2л/сое = V лmjneq\,
CO1. = Ann ^1Jmi , х. = 2л/со. = Vлт-JniHpl.
Здесь пе, nt — плотности частиц (числа частиц на единицу объема)", они одинаковы; qe, qt — их заряды, Они тоже одинаковы (по абсолютной величине); массы же частиц разные.
Если нас интересуют времена порядка IOOti, то считать приходится с шагом, существенно меньшим хе, например dt — 0.1 хе. Поскольку хе < т J40, расчет требует 40 000 шагов. Это очень много. Поэтому в расчетах часто искусственно полагают mt » (10 -s- 100)/ne. Onpe-
