Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
і і
J К(х, s) u(s) ds = f{x), J К(х, s) u(s) ds = Дх) + Cxk(x) 0 о
396
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
со сколь угодно малыми (при достаточно большом к) отличиями в правых частях. Это и есть некорректность, так как малые погрешности в правых частях приводят к большим различиям в
решениях. И здесь некорректность проявляется именно на высокочастотных возмущениях правых частей.
Что же произойдет, если мы попробуем наивно решать интегральное уравнение первого рода? Один из возможных методов состоит в следующем. Введем на [0, 1 ] сетку хп = nh (п = О, I, ..., N) и заменим интегральное уравнение сеточным, аппроксимируя интеграл конечной суммой по правилу трапеций, например. Получаем систему линейных алгебраических уравнений (п = 0, I, ...,JV)
Рис. 43
JV-I
0.5АГ(хи, S0) U0 + 2 К(хп, Sj) Uj + 0.5АГ(хи, sn) Un j=1
= Z4.
Здесь Uj, /„ (У, п Є [О, Л/]) — сеточные аппроксимации искомой функции и правой части.
Мы имеем систему Af-I-I линейных уравнений с N + 1 неизвестными. Результат решения такой системы показан (качественно) на рис. 43. При увеличении N картина становится все хуже и хуже — пилообразные пики растут. И это понятно: ведь чем больше число узлов N (размерность конечномерного сеточного пространства, аппроксимирующего функциональное), тем более высокие гармоники появляются в пространстве сеточных функций и тем сильнее проявляется некорректность.
Метод квазирешений. Перейдем к изложению основных идей, используемых при решении некорректных задач. Для определенности будем иметь в виду обратную задачу теплопроводности (2). Трудности решения были бы (в принципе) преодолены, если бы правая часть / выбиралась из очень узкого пространства гладких функций, ограниченных в сильной норме (3). К сожалению, эта рекомендация в прикладных задачах совершенно неприемлема.
Предложенный А. Н. Тихоновым подход к решению некорректных задач основан на следующем предположении. Искомое решение и существует. Более того,, мы располагаем априорной информацией о его свойствах. Такая информация обычно имеет доста-
§25]
НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ
397
точно неопределенную форму. Например, задаются ограничения функции и ее производных такого типа:
и(х) > 0, M(Jc)^C1, Vx,
і
5 КО) I2 dx « с2, I Mjc(X) I « C3,
О
і
var«(-)«C4, т.е. $ I мх(х)| dx ^ C4, и т.д. о
Совокупность этих условий выделяет в пространстве U некоторое относительно узкое множество — компакт М. Компакт, напомним, — это ограниченное замкнутое множество, такое, что из всякой бесконечной последовательности Uj EMможно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к и* Є М. Сходимость предполагает какую-то норму — типа С или L2, так что термин «компакт» нужно понимать в смысле этой нормы.
Рассмотрим множество N = КМ, т.е. совокупность функций Ku, V м Є М. Это — узкое множество очень гладких функций: если M состоит из «хороших» функций, то N — из еще «лучших». Если бы мы рассматривали задачу
Ku = /, / Є AT,
то это была бы корректная задача. К сожалению, f (? N. Будем исходить из предположения, что функция / состоит из двух слагаемых: / = /т + 6/, где /т = Ku1 (ит — точное решение задачи), причем ит Є M и, следовательно, /т Є N. Что касается 6/, то это плохая, негладкая функция. Она возникает, например, вследствие погрешностей измерения или математического представления. Поэтому ||6/|| ^ 6, где 6 — малое число, норма || • || — обычная (типа С или L2).
К сожалению, достаточно объективно и однозначно разделить / на /т и 6/, т.е. «отфильтровать» погрешности задания /, не удается. Одним из основоположников теории решения некорректных задач В. К. Ивановым было предложено искать вместо ит так называемое «квазирешение». Имеется в виду следующее. В компакте M (а это множество нам задано более или менее «явно» — системой неравенств) находится квазирешение uq, такое, что расстояние между Kuq и / минимально.
Другими словами, определение квазирешения сводится к задаче на условный экстремум:
min \\Ки - /||. (5)
иЄМ
398
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
Эта задача получила в настоящее время наименование «задача математического программирования». Методы ее численного решения достаточно хорошо развиты (см. §26), хотя она и не относится к числу очень уж простых. Иногда употребляется обозначение
M4 = arg min \\Ku-f\\. ' (6)
иЄМ
Прежде всего следует установить существование квазирешения. Это почти очевидный факт: все определяется предположением о том, что M — компакт, и ограниченностью (непрерывностью) оператора К.
Теорема 1. Квазирешение существует.
Доказательство. Введем функцию Ф(м) = ||*м — /||. Непрерывная ограниченная снизу функция на компакте достигает своего наименьшего значения. Нужно только доказать непрерывность Ф(и). Оценим
Ф(и + ди) = IlKu + Kbu - /II =S \\Ки - /II -I- И A- du||.
В результате имеем
Ф(м + 6м) <Ф(м) + ||*|| Иdu||.
С другой стороны, аналогично,
Ф(и) = Ф(м + 6м - 6м) =S Ф(м + 6м) + КАЦ ||6м||,