Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Федоренко Р.П. -> "Введение в вычислительную физику" -> 154

Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.

Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику — М.: Физ-тех, 1994. — 528 c.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка): vvedenievvichesleniyah1994.djvu
Предыдущая << 1 .. 148 149 150 151 152 153 < 154 > 155 156 157 158 159 160 .. 210 >> Следующая


і і

J К(х, s) u(s) ds = f{x), J К(х, s) u(s) ds = Дх) + Cxk(x) 0 о
396

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ

[Ч. II

со сколь угодно малыми (при достаточно большом к) отличиями в правых частях. Это и есть некорректность, так как малые погрешности в правых частях приводят к большим различиям в

решениях. И здесь некорректность проявляется именно на высокочастотных возмущениях правых частей.

Что же произойдет, если мы попробуем наивно решать интегральное уравнение первого рода? Один из возможных методов состоит в следующем. Введем на [0, 1 ] сетку хп = nh (п = О, I, ..., N) и заменим интегральное уравнение сеточным, аппроксимируя интеграл конечной суммой по правилу трапеций, например. Получаем систему линейных алгебраических уравнений (п = 0, I, ...,JV)

Рис. 43

JV-I

0.5АГ(хи, S0) U0 + 2 К(хп, Sj) Uj + 0.5АГ(хи, sn) Un j=1

= Z4.

Здесь Uj, /„ (У, п Є [О, Л/]) — сеточные аппроксимации искомой функции и правой части.

Мы имеем систему Af-I-I линейных уравнений с N + 1 неизвестными. Результат решения такой системы показан (качественно) на рис. 43. При увеличении N картина становится все хуже и хуже — пилообразные пики растут. И это понятно: ведь чем больше число узлов N (размерность конечномерного сеточного пространства, аппроксимирующего функциональное), тем более высокие гармоники появляются в пространстве сеточных функций и тем сильнее проявляется некорректность.

Метод квазирешений. Перейдем к изложению основных идей, используемых при решении некорректных задач. Для определенности будем иметь в виду обратную задачу теплопроводности (2). Трудности решения были бы (в принципе) преодолены, если бы правая часть / выбиралась из очень узкого пространства гладких функций, ограниченных в сильной норме (3). К сожалению, эта рекомендация в прикладных задачах совершенно неприемлема.

Предложенный А. Н. Тихоновым подход к решению некорректных задач основан на следующем предположении. Искомое решение и существует. Более того,, мы располагаем априорной информацией о его свойствах. Такая информация обычно имеет доста-
§25]

НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ

397

точно неопределенную форму. Например, задаются ограничения функции и ее производных такого типа:

и(х) > 0, M(Jc)^C1, Vx,

і

5 КО) I2 dx « с2, I Mjc(X) I « C3,

О

і

var«(-)«C4, т.е. $ I мх(х)| dx ^ C4, и т.д. о

Совокупность этих условий выделяет в пространстве U некоторое относительно узкое множество — компакт М. Компакт, напомним, — это ограниченное замкнутое множество, такое, что из всякой бесконечной последовательности Uj EMможно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к и* Є М. Сходимость предполагает какую-то норму — типа С или L2, так что термин «компакт» нужно понимать в смысле этой нормы.

Рассмотрим множество N = КМ, т.е. совокупность функций Ku, V м Є М. Это — узкое множество очень гладких функций: если M состоит из «хороших» функций, то N — из еще «лучших». Если бы мы рассматривали задачу

Ku = /, / Є AT,

то это была бы корректная задача. К сожалению, f (? N. Будем исходить из предположения, что функция / состоит из двух слагаемых: / = /т + 6/, где /т = Ku1 (ит — точное решение задачи), причем ит Є M и, следовательно, /т Є N. Что касается 6/, то это плохая, негладкая функция. Она возникает, например, вследствие погрешностей измерения или математического представления. Поэтому ||6/|| ^ 6, где 6 — малое число, норма || • || — обычная (типа С или L2).

К сожалению, достаточно объективно и однозначно разделить / на /т и 6/, т.е. «отфильтровать» погрешности задания /, не удается. Одним из основоположников теории решения некорректных задач В. К. Ивановым было предложено искать вместо ит так называемое «квазирешение». Имеется в виду следующее. В компакте M (а это множество нам задано более или менее «явно» — системой неравенств) находится квазирешение uq, такое, что расстояние между Kuq и / минимально.

Другими словами, определение квазирешения сводится к задаче на условный экстремум:

min \\Ки - /||. (5)

иЄМ
398

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ

[Ч. II

Эта задача получила в настоящее время наименование «задача математического программирования». Методы ее численного решения достаточно хорошо развиты (см. §26), хотя она и не относится к числу очень уж простых. Иногда употребляется обозначение

M4 = arg min \\Ku-f\\. ' (6)

иЄМ

Прежде всего следует установить существование квазирешения. Это почти очевидный факт: все определяется предположением о том, что M — компакт, и ограниченностью (непрерывностью) оператора К.

Теорема 1. Квазирешение существует.

Доказательство. Введем функцию Ф(м) = ||*м — /||. Непрерывная ограниченная снизу функция на компакте достигает своего наименьшего значения. Нужно только доказать непрерывность Ф(и). Оценим

Ф(и + ди) = IlKu + Kbu - /II =S \\Ки - /II -I- И A- du||.

В результате имеем

Ф(м + 6м) <Ф(м) + ||*|| Иdu||.

С другой стороны, аналогично,

Ф(и) = Ф(м + 6м - 6м) =S Ф(м + 6м) + КАЦ ||6м||,
Предыдущая << 1 .. 148 149 150 151 152 153 < 154 > 155 156 157 158 159 160 .. 210 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed