Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Основу метода составляет отказ от сетки как таковой. Основные счетные величины, описывающие состояние среды, здесь следующие.
1. Частицы нумеруются индексом к (к = 1, 2, ..., К). Каждая частица имеет номер ак вещесґва, из которого она «сделана». Этот номер влияет только на выбор уравнения состояния, которым следует пользоваться при расчете давления в той точке, в которой в данный момент находится к-я частица. Положение частицы в момент времени tn определяется ее координатами Xn, Ynk.
2. С каждой частицей связываются значения и\, vnk, pnk, еп. Они трактуются как значения скорости, плотности и относительной внутренней энергии в точке {tn, XI, Y’j.}. Таким образом, точки {Xk, Y1k) (к = 1, 2, ..., К) образуют подвижную сетку, в узлах которой определены основные величины.
Стандартный шаг интегрирования (переход от п-го слоя к (п + 1)-му) начинается с того, что для каждой к-й точки формируется набор соседей — точек с номерами J1k (i = 1,2,..., Ik). В набор входят точки, находящиеся в момент tn в некоторой малой окрестности точки {Xnk, Y1I). Именно по этому набору соседей и по значениям функций в них производится аппроксимация уравнений газовой динамики в &-й точке.
Технику аппроксимации поясним, начав с некоторой простейшей модели. Пусть некоторая функция f(x, у) известна в точках
(X1J, YJ), где у = у* (і = О, 1,2,...). Обозначим эти значения Zi (считаем, что j} = к). По этим значениям можно проинтерполировать функцию и получить непрерывную функцию f(x, у), совпадающую в узлах с Zi (г = 0, 1, 2, ...). Теперь можно продифференцировать / в
точке (Xnk, Ynk) и полученные выражения для производных подставить в уравнения. Таким образом получим аппроксимацию тех или иных дифференциальных операторов.
Выше изложена общая идея, которая сейчас постепенно начинает применяться при расчетах на неправильных сетках, узлы кото-
РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
375
рых не образуют простой и гладкой структуры. Фактически схема расчета более сложна. Это объясняется тем, что решения уравнений газовой динамики не настолько гладки, чтобы использовать интерполирующий полином высокой степени (степень зависит от числа соседей /). Желательно использовать аппарат, работающий при минимальном запасе гладкости. Разъясним основные идеи, используемые при построении разностных формул стандартного шага.
Линеаризация. В окрестности некоторой точки (tn, х*\ у*) функции fit, х, у) представляются в виде
fit, х, у) = /(/„, х*, /) + 6f{t', х, у), t' Є (0, т),
где 6/ — малое приращение /, т — малый шаг численного интегрирования. Подставляя такие выражения в уравнение, разлагая нелинейные члены в ряд Тейлора и ограничиваясь линейными по 6/ членами, можно получить для них линейную систему уравнений с постоянными («замороженными» в точке (tn, Xt, у*)) коэффициентами.
Формула Герглотца—Петровского. Для уравнений газовой динамики линеаризация приводит к линейной гиперболической системе. Такие системы хорошо изучены. Решение задачи Коши (без краевых условий) для них может быть получено по упомянутой выше формуле. Если / — полный вектор газодинамических параметров и, V, р, р, то эта формула принимает вид
2л Л(ір)
6/(т, Xt, /) = ^ dip $ G(ip, г) 6/ (0„, х" + г cos ip, у* + г sin ip) dr,
о о
где G(ip, г) — известное ядро; R(tP) — граница пересечения плоскости /' = Oc некоторым наклонным конусом, имеющим вершину
в точке (т, X*, у*). Это так называемый «характеристический конус», осью которого является «энтропийная характеристика» — линия, касающаяся направления dt : dx : dy = I : u' : v* iu*, v* — скорости в точке itn, х", /)). Раствор этого конуса определяется
скоростью звука с’. Для вычисления интеграла от уже «известного» при t = tn решения нужно воспользоваться интерполяцией газодинамический параметров, заданных в узлах нерегулярной сетки {XI, Ykn] (Л= 1, 2, ...,К).
Интерполяция. Множество соседей точки (Xnk, У?) формируется TaKi чтобы они как бы окружали к-ю точку, т.е. можно разбить окрестность к-іл точки на некоторое число треугольников. В каждом треугольнике функции интерполируются линейно по х, у. Полученная
376
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
таким образом на п-м слое функция /(х, у) (кусочно-линейная) интегрируется с весом G по основанию конуса. Условие устойчивости формул требует, чтобы эта область интегрирования целиком находилась внутри выделенной набором соседей окрестности. Этого всегда можно добиться выбором достаточно малого шага интегрирования т. Однако чрезмерно сблизившиеся точки могут сделать такую окрестность слишком малой, что приведет к нерационально малому t. В этом случае слишком близкая к к-й точка игнорируется.
Таковы основные методические моменты метода свободных точек. Они соответствуют одной из первых работ этого направления, выполненной В. Ф. Дьяченко. В дальнейшем эти идеи развивались, детали изменялись, они достаточно разнообразны. Все это привело к формированию специфического научного направления в вычислительной гидродинамике, получившего в западной литературе название «Free Lagrange Method» (FLM).
