Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
^2CpZy1Q?, у1 — Pi,/Qi,/) + (П/ + 1/2, jQi + иг,/ ~^i-l/2,/Qi-lJ2,j) +
+ (^-i, j+mQi,/+иг ~ ui,/-inQi,/-і 12) = 0-
Из этого соотношения вычисляется величина QHj1.
Выше была описана одна из возможных реализаций метода крупных частиц. Многие детали могут быть оформлены иначе. В частности, естественно возникает вопрос: почему для вычисления Pi+112, у применялось разложение (слева или справа, в зависимости от направления потока), а для величин, обозначенных Q, — «снос» по потоку на полшага? Теоретических обоснований такого способа, видимо, нет. Схемы, которые условно можно отнести к схемам типа крупных частиц, формировались под воздействием анализа результатов расчетов.
С причинами, определившими выбор той или иной расчетной формулы в какой-то мере можно познакомиться в специальной литературе, посвященной методу крупных частиц и практике его применения. Основные черты этой группы методов: расщепление системы уравнений (и связанный с ним «двухэтапный» счет) и наличие «односторонних» разностных аппроксимаций первых производных, сориентированных против направления потока. Эти особенности приводят к не очень высокой точности метода. В частности, в методе крупных частиц считается возможным не вводить искусственную вязкость. Функции сглаживания решения берет на себя «счетная вязкость», возникающая в таких «односторонних» схемах. Диверген-
366
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
(Ч. II
тность разностной схемы метода крупных частиц также является его характерной чертой, которую обычно сохраняют при различных реализациях.
Проблемы геометрии. Одним из наиболее серьезных вопросов, решение которого существенно определяет расчетные схемы, является проблема достаточно аккуратного отражения геометрии течения, если она не слишком проста. Здесь есть два аспекта проблемы: внешняя геометрия течения и внутренняя. Поясним суть дела. К проблемам внешней геометрии мы отнесем те, которые обычно возникают при решении задач обтекания тел достаточно сложной формы или расчет течений в каналах сложного профиля. Характерным примером является, например, задача обтекания самолета (или даже его части). Если связать систему координат с обтекаемым телом, то расчет течения газа проводится в области, для которой поверхность тела является границей. На ней ставится достаточно простое «условие непротекания»: нормальная к поверхности тела компонента скорости равна нулю.
Реализация этого условия несложна, когда поверхность тела проходит по линиям счетной сетки, например / = 1/2. (Читатель без труда внесет необходимые дополнения в описанную выше схему для учета условия v = 0 на границе.) Все потоки Ilj 1/2 = 0, и единственная проблема, которая возникает при использовании стандартных формул из-за отсутствия величин в узлах ниже границы, — это отсутствие в них давления. Во всех остальных случаях величины, формально зависящие от значений в узлах, не входящих в область определения сеточных функций, умножаются на нулевой поток массы на границе. Исключением является величина р, необходимая для аппроксимации члена ру в уравнении для v. Однако уравнение
(pv)t + (р uv) х + (pv2)y + Py = О
на границе при v(t, х, 0) = 0 превращается в ру = 0, что дает основание полагать р на границе равным значению р в центре ячейки.
Однако все это просто в случае, когда граница тела проходит по линиям координатной сетки. А если обтекаемое тело имеет сложную форму? Эта проблема возникла в начале шестидесятых годов, когда мощности ЭВМ уже позволяли приступать к решению двумерных задач обтекания тел. В то время выявились два направления. В одном направлении используется простая (декартова прямоугольная) система координат и так или иначе решаются проблемы построения аппроксимаций уравнений в нестандартных ситуациях около границы. В другом направлении строится специальная система координат, в которой граница тела является координатной линией. Построение таких сеток, называемых адаптирующимися (к форме тела), — не такое простое
§23]
РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
367
дело. Ведь обычно граница тела не задается простой формулой, она может быть даже задана графически.
К тому же предъявляются определенные требования к координатной системе: переход от декартовых координат х, у к криволинейным т) должен быть по возможности гладким, чему явно препятствует наличие угловых точек на контуре обтекаемого тела. Итак, первая проблема на этом пути — само построение адаптирующейся сетки. Далее, описание сетки в координатах ?, т] состоит в том, что для узлов (і, /') нужно вычислять и хранить в памяти декартовы координаты Xi yt j. Они необходимы при построении аппроксимаций уравнений.
После перехода к уравнениям газовой динамики в переменных (t, І;, к]) вид уравнений резко усложняется: в них появляются выражения х^, Xti, ... Использование такой формы уравнений требует запаса гладкости в отображении (х, = t]), что, как указывалось,
трудно обеспечить при сложной форме контура тела. Эта гладкость нужна, в частности, для разностной аппроксимации производных х^, Xti, ... Здесь возможен и часто используется другой путь, тоже не очень простой, — аппроксимация уравнений газовой динамики на неправильной и не очень регулярной сетке. Если ячейки сетки заметно отличаются от параллелограммов, стандартный и наглядный способ построения разностных схем (состоящий в замене входящих в уравнение производных простыми разностными отношениями) начинает отказывать. На смену ему приходит другой способ, к которому прибегают все чаще, так как возрастающие требования адаптации к геометрии рассчитываемого явления заставляют использовать сложно устроенные, нерегулярные сетки.
