Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Несколько слов об этом способе, базирующемся на использовании интерполяционных полиномов, мы скажем ниже (в связи с изложением основных идей так называемого метода свободных точек). Важным достоинством метода адаптирующихся сеток является возможность учета априорной информации о гладкости решения. Эта информация имеет достаточно неопределенный характер и состоит в предположении о том, что рассчитываемое течение является кусочно-гладким, т.е. пространство (t, х, v) можно разбить на некоторое число частей достаточно гладкими поверхностями и внутри каждой части искомые функции достаточно гладкие.
Таким образом, вышеупомянутые разделяющие поверхности — это поверхности разрывов (сильных или слабых). К ним могут быть присоединены и поверхности разрывов (слабых) в отображении (х, у) = (?, к]), которое, тем самым, является тоже кусочно-гладким. С точки зрения математический постановки задачи эти поверхности являются в некотором смысле «внутренними границами», на которых ставятся соответствующие граничные условия, связывающие значения искомых функций на разных сторонах поверхности
368
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[4. її
разрыва. Если такая поверхность является ударной волной, это — соотношения Гюгонио; в случае контактного разрыва, это — условия непрерывности давления и нормальной компоненты скорости при произвольных разрывах плотности и касательной к поверхности компоненты скорости, и т.п.
В каждой из выделенных частей обычно вводят свою систему координат таким образом, чтобы в этих координатах область стала прямоугольником, а сетка, как говорят, была топологически эквивалентна прямоугольной. Это весьма удобно для программирования вычислительного процесса, который организуется, как система вложенных циклов. Однако в таких системах координат точность разностных аппроксимаций зависит не только от гладкости искомого решения, но и от гладкости отображения (х, у) т|). Построенная сетка должна быть достаточно регулярной, ее ячейки (прямоугольники в координатах %, т]) не должны слишком сильно отличаться от параллелограммов в пространстве х, у. Трудности возникают, если, например, ячейки оказываются сильно скошенными параллелограммами, и т.п. Построение хороших сеток, топологически эквивалентных прямоугольным, в областях даже не слишком вычурной формы — сложная задача, решение которой составляет специальный раздел вычислительной математики. Часто трудно даже обеспечить построение взаимно однозначного отображения (х, у) = (^, к]). Следует еще подчеркнуть, что число и топологическая структура выделяемых областей гладкости заранее не известны и определяются в процессе решения задачи, что заставляет использовать алгоритмы построения сетки в оперативном режиме — почти на каждом шаге интегрирования уравнения по времени.
Сказанного достаточно, чтобы понять, что реализация вышеизложенного подхода связана со значительными трудностями. Программы получаются очень сложными; они разрабатываются целыми коллективами в течение многих лет. В процессе эксплуатации мощного вычислительного аппарата происходит его постоянное развитие. Тем не менее такие программы созданы, и полученные с их помощью результаты считаются наиболее достоверными.
Наряду с этим направлением, естественно, возникла идея использовать самые простые сетки — прямоугольные в декартовых координатах и, преодолевая трудности аппроксимации уравнений около границы (с учетом краевых условий), получать достаточно простые программы для расчета течений. Слабым местом такого подхода является то обстоятельство, что часто рассчитываемое течение имеет разные характеристики гладкости в разных частях области. Адаптирующиеся сетки могут это учитывать (хотя и не без определенных трудностей). Расчет же на равномерной сетке, размер которой диктуется наиболее «узким» местом, требует слишком малого шага. Поэтому, хотя это направление начало развиваться в нашей стране с первых лет работы на ЭВМ, на некоторое время оно
\
§ 23І РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 369
было оставлено. Это было связано, видимо, с малым объемом оперативней памяти ЭВМ того времени.
До недавнего времени наиболее распространенной ЭВМ была БЭСМ-6, имевшая оперативную память в 32 ООО слов. После введения в Эксплуатацию новых ЭВМ с большими ресурсами оперативной памяти (порядка IO6) интерес к этому направлению стал возрождаться. Конечно, число узлов равномерной сетки должно быть существенно больше числа узлов адаптирующейся, но расчетные формулы оказываются намного проще. По оценкам специалистов, программа трехмерной газовой динамики с адаптирующейся сеткой тратит порядка IO4 операций на один узел (при расчете одного временного шага); программа же, основанная на прямоугольной декартовой сетке, около IO2 операций. Смогут ли такие простые программы конкурировать с расчетами на адаптирующихся сетках — покажет будущее. Работа здесь в сущности только начинается. Ниже мы опишем некоторый способ учета криволинейной границы на прямоугольной декартовой сетке, который продемонстрирует, какого сорта проблемы здесь возникают.
