Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Физическая аргументация состоит в том, что, как показывает анализ, при прохождении газа через ударную волну сжатия энтропия скачком растет, а при прохождении через ударную волну разрежения — падает. Поэтому физика признает лищь ударные волны сжатия. С матёматической точки зрения различие в этих формальных решениях уравнений газовой динамики вносится анализом устойчивости. Волна сжатия устойчива относительно малых возмуще-
296
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
ний. Волна разрежения неустойчива, она не может долго существовать и быстро «разваливается».
Что же произойдет, если мы зададим в начальных данных кусочно-постоянные значения, соответствующие ударной волне разрежения? Оказывается, существует еще одно обобщенное (и уже устойчивое) решение уравнений. Чтобы дать о нем представление, рассмотрим еще более общую ситуацию. Пусть в начальных данных заданы кусочно-постоянные значения U1, P1, еу при х > 0 и и2, р2, е2 при х < 0. Можно ли найти точное решение уравнений газовой динамик в этом простом случае? Оказывается, да. Решение этой задачи (так называемой задачи о распаде произвольного разрыва в начальных данных) было найдено в сороковых годах Н. Е. Кочиным. Чтобы качественно описать его, нам понадобится еще одно «чистое» решение уравнений газовой динамики.
Центрированная волна разрежения. В уравнения газовой динамики входят только производные ПО < И JC первого порядка. Поэтому они инвариантны относительно преобразования подобия независимых переменных t = at\ х = ах'. Точнее, если и, р, e(t, х) — решения уравнений, то и функции и', р', х') = и, р,
e(at', ax') удовлетворяют уравнениям. В самом деле,
Видно, что функции и', р', е' уравнениям удовлетворяют. Мы рассматриваем безграничную задачу Коши с данными
Поэтому функции и', р', е'(0, х') имеют точно такие же значения.
Таким образом мы имеем бесконечное множество (при любом а > 0) решений одной и той же задачи Коши. Неявно опираясь на единственность ее решения, мы получаем тождество
Это возможно лишь в случае, когда решение зависит не от двух переменных t, х, а лишь от одной автомодельной переменной | = x/t. Итак,
Уравнение газовой динамики становятся обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые допускают достаточно обозримый анализ. Эти уравнения выводятся после замены операторов
ди'/дх' = а ди/дх, du'/dt' = a du/dt',
х > 0, х < 0.
и, р, e(at, ах) = и, р, e(i, jc).
и, р, e(t, х) = U, R, E(x/t).
JL = ІІ — I Al
dt ж d\ dt t Щ’ дх Щ дх t d%‘
д__ d _ I 'd.
ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
297
Используя уравнения в форме (14), после простых преобразований получаем систему уравнений для автомодельного решения:
P' = IU', U' = -%V', -I E' + PU' = О
(штрих — символ производной по |). Для уравнения состояния E = PV/(у — 1) они легко интегрируются:
F(I) = F0 Jr2^+1), р(|) =
= и0- ^ (16)
В результате мы имеем общее решение с двумя произвольными постоянными.
Отметим важное соотношение C2(I) = у P(|)/F(|) = |2. Здесь С есть скорость звука (отличие от формулы с2 = У р/р связано с тем, что С — это «массовая» скорость звука, так как мы используем уравнение с массовой лагранжевой переменной). Таким образом, линия | = С, т.е. х = Cf, является характеристикой. Заметим, что при | = 0 решение имеет особенность, которой можно избежать, используя это решение только в интервале [|', |"] при I' < I'' < 0 или
0 < I' < I''.
Построим еще одно точное решение типа «центрированной волны разрежения» (для определенности, идущей вправо). Пусть U1 Ppe1 произвольны. Вычислим |" = VуPiPl (это будет правая граница волны). Речь идет о непрерывном решении, поэтому нам известны значения F(Ill) = Ii1 = IZp1 и U(Q1) = U1, что позволяет без труда вычислить постоянные V0, U0 в (16). При | < |" решение описывается формулами (16). Левую границу волны 0 < I' < |" можно назначить произвольно. Вычислим U2= U (|'), V2 = К(|'), P2 = Р(Ц,'). Эти значения определяют константное решение при
1 < I'. Заметим, что и ударная волна, и контактный разрыв входят в семейство автомодельных обобщенных решений — это константные решения, рвущиеся при некотором значении |.
Теперь можно вернуться к вопросу о распаде произвольного разрыва в начальных данных. Решение является автомодельным и состоит (в общем случае) из контактного разрыва, справа и слева от которого расположена ударная волна или центрированная волна разрежения, причем возможны четыре сочетания: все определяется' расположением точек U1, P1, еу и и2, р2, е2.
Основные трудности, возникающие при численном решении уравнений газовой динамики, связаны с наличием разрывов в искомых решениях. При конструировании численных методов обычно выделяют характерные особенности решений, т.е. строят задачи, в
298
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
которых наиболее трудные особенности существуют в чистом виде, без взаимодействия с не очень трудными для расчетов гладкими течениями. В таких задачах известно точное решение и качество расчетной схемы оценивается по тому, как оно справляется с решением «модельной задачи».
