Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Ниже мы опишем необходимый минимум знаний в этой области. Мы начнем с одномерной газовой динамики. Уже этот простой случай содержит характерные трудности, связанные с необходимостью расчета разрывных решений — ударных волн, контактных разрывов. Для расчета одномерных течений газа были разработаны эффективные методы, специальные приемы, которые в дальнейшем обобщались на случай более сложных (двумерных и в настоящее время даже трехмерных) течений газа.
Перейдем к формулировке задачи. Будем рассматривать модель, в которой состояние среды (газа) описывается следующими функциями, зависящими от двух независимых переменных t (время) и х (пространственная координата): u(t, х) — скорость газа, p(t, х) — плотность, p(t, х) — давление, e(t, х) — внутренняя энергия (удельная).
Величины е, р, р не являются независимыми: они связаны соотношением, называемым уравнением состояния. Это уравнение мы будем употреблять либо в форме р = Р(е, р), либо в форме е = Е(р, р). Иногда используются и другие величины, однозначно вычисляемые через любую пару термодинамических переменных (е, р), (р, р), ... (энтропия, энтальпия и т.д.), Используя эти термодинамические соотношения, газовая динамика, таким образом, ограничивается описанием явлений, протекающих в условиях локального термодинамического равновесия. Время свободного пробега молекул и его длина считаются «бесконечно малыми» по сравнению с временами и длинами, на которых происходят заметные (с точки зрения газовой динамики) изменения основных величин, описывающих состояние газа.
284
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
Уравнения газовой динамики имеют вид законов сохранения импульса, массы и полной энергии соответственно:
ч ди , ди
а) Si +“
дх
в)
dt
д_
dt
+ =0
^ р дх
і ди /\
+ р=о.
Эх
9_
дх
(1)
е + т
_1_ д(ри) __ q
р Эх —
Эти дифференциальные уравнения для четырех функций и, р, е, р замыкаются уравнением состояния р — Р(е, р).
Уравнения газовой динамики допускают разные формы записи; они эквивалентны, если предположить непрерывную дифференцируемость функций. Из них мы отметим важную для дальнейшего дивергентную форму уравнений:
а)
dt
дх
(ри2 + р) = 0,
б) ї? + ії(ри) = 0’
dt
\ 9
В) ?
(2)
9\е + \
+
дх
ри \е + -у +
= 0.
Уравнение (2а) есть сумма (Ia) и (16), умноженных на р и и соответственно. Уравнение (26) прямо получено из (16). Уравнение (2в) есть сумма (Ia) и (1в), умноженных на (е + и2/2) и р. Каждое из этих уравнений имеет форму
Rt + Qx = 0,
Где R, Q — функции от и, р, е, р. Именно это обстоятельство служит основанием для термина «дивергентная форма уравнения». Она очень важна, так как из нее непосредственно следует запись уравнений в так называемой интегральной форме. Последняя приводит к определению обобщенных решений уравнений газовой динамики.
В газовой динамике нельзя обойтись классическими решениями. Напомним, что это функции, имеющие непрерывные производные и удовлетворяющие уравнениям в прямом смысле этого слова. При этом несущественно, в какой форме записаны уравнения. Многие задачи газовой динамики классических решений не имеют. Необходимо рассматривать функции, имеющие на некоторых линиях в пространстве (t, х) разрывы не только производных, но и самих функций. В этом случае понятие «решение» должно быть соответствующим образом обобщено.
ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
285
Обобщенные решения уравнений газовой динамики. Пусть функции u(t, х), p(t, х), e(t, лс), p(t, х) являются классическими решениями уравнений, записанных в дивергентной форме. Тогда они удовлетворяют и уравнениям в интегральной форме. Выведем их. Рассмотрим в плоскости (t, х) произвольный замкнутый контур Г, ограничивающий односвязную, для простоты, область Q. Вычислим
Равенство нулю интеграла по любому замкнутому контуру Г есть интегральная форма уравнений. Таким образом, классические решения являются и решениями уравнений в интегральной форме. Однако эта интегральная форма может быть принята за основную, определяющую.
Итак, обобщенными решениями уравнений газовой динамики назовем функции u(t, х), p(t, х), e(t, х), p(t, ^удовлетворяющие интегральным соотношениям (3). При этом
R, Q имеют производные, то почти всюду R1 + Qx — 0. Проверка того, что функции и, р, е являются решениями уравнений газовой динамики в обобщенном смысле, носит не очень обозримый характер (нужно проверить соотношения (3) для всех Г), HO зато не требует дифференцируемости этих функций.
Другие формы уравнений газовой динамики. Разные формы записи уравнений подчеркивают тот или иной аспект описываемого ими явления. Эти формы используются для построения разностных аппроксимаций и приводят к отличающимся разностным схемам, каждая из которых может оказаться предпочтительной при расчете какого-то специального класса течений. В дальнейшем мы специально коснемся этого вопроса еще раз. Нам потребуется другая форма уравнения энергии. Из (1в) вычтем (1а), умноженное на и: