Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
5(0, х) = S0 = const, Л~(0, х) = Rq (х), R+(0, х) = Rq (х),
находим траектории Х~, X+. Дополняя уравнения (13) начальными данными Коши Xil(O) = X0, получаем
X*(t, Х±)=Х±+Я±(Х±)<.
Для того чтобы иметь «явное» решение уравнений газовой динамики, нужно уметь вычислять в каждой данной точке (t, х) значения R~(t, х), R+(t, х). Решим (относительно Xq , Xq) систему нелинейных уравнений:
х = X0-+ Я-(*-)<, X = XJ +R+(X+)t.
Тогда
R-Jt, х) =Rq(Xq), R+(t,x) =RZ(XZ)
(S(t, х) = S0, так как течение изоэнтропическое).
Все было бы хорошо, если бы отображение (t, *)ї=Х0 ,X0 было взаимно однозначным, т.е. через каждую точку (t, х) проходило бы только по одной прямой из семейств линий X0 + Rl(Xl)f. К сожалению, этого нельзя гарантировать никакой гладкостью начальных данных. Если, например, Zf0 (х') > R^ (х") при х'<х", линия'
ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
289
х' + R.Q(x')t догоняет линию х" + R?(x")t, и в момент времени t = (х" — x')/(Rq(x') — Rq (х")) они пересекутся. В этом случае описанный выше аппарат интегрирования уравнений газовой динамики отказывает. А что можно сказать о решении уравнений газовой динамики, о течении газа, которое эти уравнения описывают? Что случается с течением в этот момент? Ответ прост: в течении образуется разрыв — так называемая ударная волна. Мы еще вернемся к этому в дальнейшем.
Семейства линий Х°((, ArJj), X~(t, X0), X+(і, Xj) играют большую роль в газовой динамике, хотя в общем случае они не определяются явно начальными данными (как в случае продуктов взрыва), а могут быть найдены либо после того, как проинтегрированы уравнения газовой динамики, либо процессом совместного интегрирования уравнений газовой динамики и уравнений этих линий. Они называются характеристиками: X0 — это энтропийная характеристика, Х~ — левая звуковая характеристика, X+ — правая звуковая характеристика. Эти термины связаны с тем, что по этим характеристикам распространяется «звуковой» сигнал: ± с — скорость звука относительно газа, и ± с — скорость звука относительно геометрического пространства, в котором газ движется со скоростью и.
Краевые задачи для уравнений газовой динамики. Характеристики позволяют разобраться в правильной постановке краевых условий в конкретных задачах. Для того чтобы решение было полностью определено, уравнения следует дополнить заданием начальных данных и краевых условий. И дополнить так, чтобы не возникло противоречие (т.е. чтобы решение существовало) и чтобы постановка задачи была полной (т.е. решение должно быть единственным).
Несколько слов о физическом смысле характеристик. Пусть имеется некоторое решение u(t, х), р((, х), e(t, х) уравнений (1). Рассмотрим решение, которое при / = O отличается от невозмущенного малым искажением функций и(0, х), р(0, х), е(0, х) на очень малом локальном участке. Тогда и в последующие моменты времени возмущенное течение будет мало отличаться от невозмущенного, HO начальное финитное возмущение распадется на три финитных возмущения римановых инвариантов, распространяющиеся со скоростями и — с, и, и + с соответственно.
Теперь можно описать постановки тех краевых задач, для которых, как все убеждены (но это не доказано!), справедливы теоремы существования и единственности решений. Мы ограничимся рассмотрением простой области: 0<<<Т,0<ж?. При t = 0 следует задать начальные данные, т.е. значения всех функций м(0, х), р(0, х), е(0, х).
Ю — 1833
290
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
14. II
Рассмотрим границу области (для определенности, левую). Из каждой ее точки (/, 0) исходят три характеристики с наклонами X, равными и — с, и, и + с соответственно. Te из них, наклоны которых положительны, назовем входящими в область. На левой границе (jc = 0) следует задать столько краевых условий (например, независимых соотношений между и, р, е), сколько характеристик входит в область. На правой границе (х = L) следует задать столько краевых условий, сколько характеристик входит в область.
Вышеизложенное поясняет рис. 29, на котором схематически показаны характеристики и обозначено число краевых условий в
каждой из возможных ситуаций, причем каждая ситуация на левой границе может (в данный момент времени t) сочетаться с любой ситуацией на правой границе. С течением времени ситуации могут меняться. Наклоны характеристик зависят от искомого решения и не всегда могут быть определены заранее (даже качественно: сколько характеристик идут вправо, сколько — влево).
Таким образом, постановки краевых условий в газовой динамике — дело довольно тонкое. Обоснованием приведенного выше рецепта по постановке краевых условий является анализ уравнений в характеристической форме. Из нее следует, что каждое из трех уравнений является, так сказать, обыкновенным дифференциальным уравнением вдоль соответствующей характеристики, и все дело только в том, что каждое такое уравнение должно быть замкнуто соответствующими данными Коши. Неявно здесь используется принцип причинности: состояние в момент t' определяет состояние при t > t'.
