Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Каждая характеристика начинается либо при t = 0, либо на одной из боковых границ и должна быть «замкнута» соответствующими данными Коши. При t = 0 из каждой точки в область входят три характеристики, заданы три величины, все три характеристики имеют свои, данные Коши. Если характеристика «рождается» на боковой границе, то приведенный выше рецепт также приводит к замкнутой и не переопределенной системе уравнений. Поясним это несколько иначе: если в данную точку границы, например в точку (/*, 0), приходит к < 3 характеристик из области, то 3 — к характеристик выходит из этой точки внутрь области.
Интегрирование (в направлении роста t < f) по каждой из приходящих характеристик (оно ведется изнутри области) определяет в точке (Г, 0) соответствующее число к соотношений между описыва-
^ 3 условия
V/ •>
’' 2 условия q
^ I 1 условие I ^ V
0 условий 2 I
ч/ \к з^
Рис. 29
§20]
ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
291
ющими состояние газа значениями и, р, е. Если в этой точке будет задано больше чем 3 — к условий, возникнет (в общем случае) противоречие и такого решения не существует. Если будет задано меньшее число краевых условий, можно добавить еще одно произвольное и нарушится единственность поставленной задачи.
Это рассуждение выглядит «почти доказательством», но не следует упускать из вида, что сами характеристики — это объект, однозначно определенный лишь на решении уравнений газовой динамики. И только для гиперболических линейных систем, когда характеристики определяются коэффициентами уравнений и не зависят от решений, приведенные выше соображения можно оформить в виде точных теорем. Тем не менее в нелинейной газовой динамике эти соображения используются с успехом. Более того, используется и более тонкий факт: выясняется запрет на некоторые формы краевых условий.
Грубо говоря, в качестве задаваемого краевого условия (соотношения между значениями и, р, е) нельзя использовать то соотношение, которое «приносится» по приходящей из области (снизу) характеристике. Например, если в точку (/*, 0) приходит левая звуковая характеристика (а правая и энтропийная входят в этой точке в область), то в качестве одного из двух требуемых в этом случае условий нельзя задавать значение риманова инварианта R~. Его значение определяется однозначно состоянием при t < 0, возникает противоречие, и решения уже не существует. Вообще, приносимые на границу по приходящим характеристикам соотношения, дополненные заданным краевым условием, должны составлять систему уравнений (относительно и, р, е), допускающую однозначную разрешимость.
Уравнения газовой динамики в форме Лагранжа. Выше были описаны уравнения газовой динамики в так называемой форме Эйлера. Она характеризуется тем, что в качестве независимых переменных выбираются время t и декартова координата х, связанная с геометрическим пространством. Очень удобна во многих задачах другая система независимых переменных — так называемая лагран-жева система, в которой одной из независимых переменных остается время t, вторая же (назовем ее |) определяется так, что она остается постоянной вдоль траектории частиц. Траектория — это кривая в пространстве (t, х), описываемая выделенной частицей газа. Каждой частице соответствует своя траектория — решение уравнения X = u(t, Х(1)).
Отметим все частицы газа параметром |. Это и будет «лагранже-ва» координата частицы. Теперь все траектории будут описываться функцией X(t, I), удовлетворяющей уравнению
10* Xt(t, К) = u(t, X(t, I)).
292
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
Здесь u(t, X) берется из решения уравнений газовой динамики. В качестве параметра І- можно взять, например, координату х частицы в начальный момент времени t = 0. Тогда уравнение дополняется данными Коши Х(0, |) = |.
Для того чтобы для данной точки (Ґ, х) узнать ее координаты (f, |), нужно проинтегрировать «назад» (от f к нулю) уравнение Y = u(t, У), У(Ґ) = х. Тогда | = У(0). Взаимная однозначность отображения (t, х) в (t, %) следует из того, что траектории не пересекаются.
Следующей нашей задачей будет вывод уравнений газовой динамики в лагранжевых координатах. Пусть имеется некоторая функция эйлеровых переменных f(t, х). Превратим ее в функцию лагранжевых переменных f(t, I) = f(t, X(t, %)). Вычислим производные /:
h = fxxv l = ft + fxxt = ft + “fx-
Пусть u(t, х), р(t, х), e(t, х) — решение уравнений газовсці динамики (1), каждое из которых содержит так называемый оператор субстанциальной производной — производной по t вдоль траектории частицы (d/dt + ид/дх). Определим функции ы(?, t), р(|, t), е(%, t) заменой переменных. Они, очевидно, и будут решением уравнений газовой динамики в лагранжевых координатах. Перепишем уравнения:
эйлерова форма лагранжева форма
ut + иих + ? Px = °> “/ + f xSlPt- - °>
Pt + “Р* + Pux = 0> Pt+ Рхї“і = °>
[е + т] + м(е + т| + = (? + т] XiT1(PM)i= = O,
Xt(%, 0 = 2(1,0-
Массовые лагранжевы координаты. Особенно простую и удобную для аналитических исследований и организации расчетов форму имеют уравнения газовой динамики при специальном выборе лагранжевой координаты. Чтобы пояснить его смысл, рассмотрим выражение рХ^ (пока мы имеем дело с определенной выше лагранжевой координатой Х(|, 0) = |). Величина pX^d%=pdx равна массе вещества, заключенной между траекториями, соответствующими частицам | и | + d%. Она, естественно, остается постоянной; следовательно,
