Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
[р(/, %) x4(t, 1)1, = 0,
р(t, I) X4(t, I) = p(b, I) ^(0, I) = p(0, x).
§ 20]
ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
293
Теперь уравнения в форме Лагранжа можно записать так:
1 др
дії _|_______________________
dt + р(|, 0)
= 0, и т.д.
Введем массовую лагранжеву координату /и(|), связанную с | дифференциальным уравнением /п^ = р(|, 0). В массовых лагран-жевых координатах уравнения газовой динамики принимают совсем простую форму (вместо плотности р используем удельный объем
V = р-1). Опуская тильду в обозначениях, имеем
I д(ри)
dt |е_г “I +
du . др _ п ~ дт ’
dt
dv
dt
dll л d
е +
dm
0. (14)
Обозначение d/dt вместо d/dt принято в лагранжевой системе координат. Система лагранжевых уравнений обязательно дополняется уравнением связи лагранжевой (т) и эйлеровой (лс) координат:
xt(t, т) = u(t, т), дх(0, т)/дт = v(0, т).
Разрывные решения уравнений газовой динамики. Рассмотрим возможные, в принципе, разрывы в решениях уравнений газовой динамики. Предположим, что функции u(t, х), p(t, х), e(t, х) рвутся на некоторой линии в пространстве ((, х). Пусть эта линия гладкая и по обе стороны от линии разрыва функции и, р, е — классическое решение уравнений газовой динамики. Хотя в этой ситуации уравнения выполнены «почти всюду»
(всюду, за исключением линии разрыва, являющейся множеством меры нуль), такая произвольная «склейка» двух решений не может считаться решением. Оказывается, между величинами и, р, е в точках на левом и правом краях разрыва должны выполняться некоторые соотношения. Выведем их, используя определение обобщенного решения (уравнения в интегральной форме).
Возьмем на линии разрыва некоторую точку и построим около нее малую область Q — параллелограмм со сторонами, параллельными линии разрыва (рис. 30). Длины горизонтальных сторон считаем существенно меньшими длин боковых сторон. Чтобы разрывные функции u(t, х), p(t, х), e(t, х) могли считаться обобщенными решениями, нужно, чтобы для каждой области типа Q выполнялось соотношение (мы исходим из эйлеровой дивергентной формы)
ф [ри dx — (ри2 + р) dt] = 0. ап
(Аналогично для двух остальных уравнений.)
Рис. 30
294
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
Введем обозначения: D — скорость распространения разрыва, т.е. Xt — D (X(t) есть уравнение линии разрыва); Uv р,, е, — значения функций справа от разрыва (область Q столь мала, что изменениями функций вдоль контура справа от разрыва можно пренебречь). В дальнейшем мы перейдем к пределу при стягивании Q в точку. Переменность функций можно было бы без труда учесть, HO она дала бы вклад в малые более высокого порядка по сравнению с основными членами. То же самое предполагается и слева от разрыва. Соответствующие предельные значения обозначим и2, р2, е2. Интегралами по отрезкам 12 и 34, как уже указывалось, можно пренебречь. Итак, в главных членах соотношение дает
ф [ри dx — (ри2 + р) dt] = ^ [ри dx — (ри2 + р) dt] + ^ ...
ЭС2 2 4
Учтем, что отрезок 23 есть вектор (dx, dt) = (D, I) dt, а отрезок 41 есть вектор — (D, I) dt. Сокращая на dt, имеем
(DpiUi -P1U2-P1)- (Dp2U2 - p2uj - р2) = 0.
Такие соотношения на разрыве принято обозначать в виде
[Dpu — ри2 — р] J = 0.
Точно таким же образом получаем
Удобно привести эти соотношения к другой форме (сохранение массы, импульса и энергии соответственно):
Они носят название соотношений Гюгонио.
Два типа разрывов в газовой динамике. Рассмотрим одно из простейших решений соотношений Гюгонио. Пусть U1 = D. Тогда из (15а) имеем p2(u2 — D) = 0. Так как P2=Z=O, то U2 = D. Из (156) следует P2= P1. Соотношение (15в) автоматически выполняется. На этом разрыве, называемом контактным, имеют место следующие факты:
з
і
а) [р(и -D)]2 = 0,
б) [р(М-?>)2 + р]? = 0
(15)
в)
§20]
ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
295
контактный разрыв совпадает с какой-то траекторией, так как его скорость D совпадает со скоростью газа и;
скорость и и давление р на контактном разрыве не рвутся; плотность на контактном разрыве рвется произвольным образом. Если два сорта газа граничат друг с другом, находятся при одном и том же давлении и движутся с одной и той же скоростью и, никаких событий в среде не происходит. Просто граница раздела движутся с той же скоростью, что и весь газ.
Пусть U1^ D. В этом случае рвутся все функции: M2=/= Uv P2 P1, р2 5* P1. Такой разрыв называют ударной волной.
Итак, мы имеем три примера точных решений уравнений газовой динамики.
Константное решение:
u(t, х), p(t, х), e(t, х) =Const.
Чистый контактный разрыв:
{м., р., е., х > u.t,
M2, р2, Є2, X < Uyt.
При этом P1Ce1, P1) = .Р2(е2, р2), так как контактный разрыв часто разделяет вещества с разными уравнениями состояния.
Чистая ударная волна:
{м., р., е,, х > Dt,
и2, р2, е2, jc < Dt.
Значения M1, P1, ех произвольны (разумеется, P1 >0, еу > 0). Произвольно и значение D. Значения и2, р2, е2 находятся из трех соотношений Гюгонио.
Очевидно, в ударной волне Можно поменять местами значения с индексами 1 и 2, условия Гюгонио будут выполнены. Если P1 < р2, ударную волну называют волной сжатия, в противоположном случае — волной разрежения. Это относится к волне, идущей вправо (D> 0), когда р} есть плотность до прохождения волны. Волна разрежения в природе не реализуется. Ее существование отрицается на основании как физических, так и чисто математических соображений.
