Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Итак, рассмотрим последовательность моментов tk и положений системы qk =? x(tk, Z0, q0):
Qk+1 = Qk + ? + nTk, tk, qk.) + 0(e2), tk+i ~ ^k + k'
В дальнейшем нам будет полезно следующее почти очевидное утверждение.
Утверждение 6. Система х = /(х) + є F(x, Z) инвариантна относительно сдвига времени на л.
Уточним аналитический смысл этого утверждения. Пусть x(t, Z0, 0О) — общее решение системы, т.е.
Z0, q0) /[x(z, Z0, <70)] + ? F[x(t, Z0, q0), Z], (21)
х(^0’ q0) <?о> ^ t, Zq> Qo- (22)
Введем функцию y(t, Z0, q0) = x(z + ji, Z0 + л, q0). Тогда y(t, Z0, qQ) щ = x(t, Z0, q0). Доказательство состоит в том, что для функции у проверяются условия (21), (22), определяющие функцию х однозначно. Опустим эти простые выкладки, в которых используется л-периодич-ность F по Z.
Так как мы используем ряды Пуассона в моменты tk + 1 = = tk + n T(qk), то в рекуррентном соотношении остаются только два существенных аргумента: tk и qk. В этом случае рекуррентное соотношение можно записать в виде
Qk+i = <*k + ? + nTv Чк) + °(?2)’
положив <^(Z, q) = -X1(Z) Z — п T(q), q).
В силу доказанной выше инвариантности возмущенной системы относительно сдвига времени на л, 9й является л-периодической по Z функцией. Это, впрочем, почти очевидно и без доказательства. Строя ряды Пуассона в точках (t0, q0) и (Z0 + л, q0), мы будем иметь дело с одними и теми же объектами: траектория невозмущен-
ОСРЕДНЕНИЕ БЫСТРЫХ ВРАЩЕНИЙ
279
ной системы вообще не реагирует на такой сдвиг по времени, а сила F л-периодична. В результате рекуррентное соотношение можно переписать в виде
Як+1 = Як + ? g6Ok + пТк~ mJl> Як) + 0(є2).
Вводя рассогласование фаз г)(^), имеем
Як + 1 - Як + ? gsOk + ЧІЯк), Як) + 0O2)-
гг, \
Tеперь осталось учесть еще одну «медленную переменную» — фазу ak+l = ак + KiOtf*), в терминах которой цепочка разностных уравнений запишется в форме
*к + і = *к + пТ(Як)’ ак + і = ак + Ч(Як)’
Як+і = як +? Як) + °02)-
Так как мы предполагаем рассогласование \\(д) малым (сравнимым с є или VT), то поставленная цель достигнута: в цепочке разностных уравнений все аргументы за один шаг - изменяются медленно (tf на О(е), а на к]). Можно перейти к уравнениям в медленном времени т:
<4 _ Т(д) da _ „ч
dx є ’ dx є ’ dx ' ’ Я)’
Случай несоизмеримости периодов. Пусть периоды T(q) и л «несоизмеримы», т.е. пТ =*= тл при любых целых числах тип. Практически нет особой разницы между несоизмеримостью и «резонансом»: пТ % тл при очень больших значениях тип. Разумеется, понятие «большие т и п» должно быть согласовано с величиной є. Ho в чистой теории все объекты фиксируются, а величина є считается настолько малой, насколько этого требует доказательство оценки. В этом смысле, конечно, термин «несоизмеримость» нужно понимать буквально, как он трактуется в теории чисел.
Для задачи о возмущении Т-периодического решения малой я-периодической силой из (19) имеем следующее «разностное» соотношение с шагом Д (малым для медленного времени, но большим с точки зрения «физического» времени):
Т+Д
q(г + Д) = tf + J г~1(я, т'/є) -F[z(tf, т'/є), т'/є] dx' + 0(є2). (2^)
X
Напомним, что здесь я = я( t) (эта величина остается постоянной при интегрировании).
280
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
Нас будет интересовать оценка интеграла, который можно записать и в терминах физического времени t = т/е:
<+Д/е
є J z~l(q, о F\z(q, Ґ), t'] dt'. t
(24)
Обратим внимание на то, что в подынтегральную функцию t' входит тремя разными способами. Первые два вхождения t' связаны с решением невозмущенной системы, по этим t' подынтегральная функция Г-периодична. Третье вхождение t' связано с зависимостью F от t, по этому аргументу Подынтегральная функция л-периодична.
Подынтегральную функцию можно записать в вйде функции <2(а, Р), игнорируя аргумент q, который при интегрировании остается постоянным. Итак, речь идет о приближенном вычислении интеграла от двояко-периодической функции Q на линии a = P = Ґ, t' Є [t, t + Д/е]. Интервал интегрирования большой в том смысле, что на нем укладывается большое число периодов (как я, так и Т, которые мы считаем величинами одного порядка).
На рис. 28а изображена плоскость (а, Р), разделенная на прямоугольники T x л, и линия интегрирования. В силу свойств Q(а, Р) можно ограничится только одним прямоугольником, отождествив точки его противоположных сторон. Такой прямоугольник называют тором. Изображая линию интегрирования на торе, при ее выходе на границу прямоугольника скачком следует перейти на противоположную сторону.
Образ линии на торе образует так называемую обмотку тора. Если периоды соизмеримы, то через время пТ = тж линия на торе замкнется. Если периоды несоиз-
Q
Jt T
2 T б
ЗГ 4T t
Рис. 28
меримы, линия равномерно заполняет тор. При достаточной длине линии (т.е. если є достаточно малая величина) среднее значение Q вдоль линии почти совпадает со средним значением по тору:
л T
( Q(t', t') dt'^± jj Q(a, р) da d$ (25)
