Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
0 = ^ (Rt + Qx) dt dx = ф (R dx — Q dt), VT. (3)
(4)
И наоборот, если для любого Г имеет место
Г
(5)
Эта недивергентная запись уравнения для внутренней энергии часто оказывается полезной по соображениям, которые мы подробно обсудим в § 22.
286
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
Другие формы уравнений мы получим, ограничившись простым, но очень важным в приложениях случаем идеального газа. Этот термин связан с конкретной формой уравнения состояния
e = или P= (7-І)ер,
где 7 — постоянная. С учетом этого соотношения преобразуем уравнение (5) для е в уравнение для рг.
+ _|-урэ± =о. (6)
dt ~ дх ~ дх v ’
Используя еще одну термодинамическую величину — адиабатическую скорость звука с = V у р/р (она может быть выражена через любую пару термодинамических величин, принятых за «основные»), получаем уравнение в форме
Pt + ирх + с2рих = 0. О)
Выведем уравнение «для энтропии». Вычтем уравнения (5) и
(16), умножив их на р и р/р — (у — 1)е соответственно. Умножая результат на 1/(ре), группируя отдельные члены (члены с их, очевидно, взаимно уничтожаются) и вводя в качестве термодинамической величины энтропию идеального газа
5 = In (ер1~у) = In получаем уравнение «для энтропии»:
St+ MSx = 0, или ^r+ и S = O. (8).
Из него следует вывод: энтропия сохраняется вдоль «траектории частицы», т.е. на траектории уравнения X = u(t, X), X(O) = X0.
Сформулируем это важное обстоятельство более аккуратно. Прежде всего подчеркнем, что вышеизложенные выкладки были проведены формально, в предположении, что используемые производные существуют. Другими словами, все эти уравнения равносильны (из одних следуют другие) только в случае классических решений. Пусть мы имеем классическое решение уравнений газовой динамики. Обозначим траектории частиц более аккуратно X(t, X0). Имея решение u(t, х), р(t, х), e(t, х), p(t, х), мы имеем и энтропию S(t, х). Тогда S(t, X(t, X0)) = S(0, X0). В частности, если в начальных данных энтропия была постоянной, она остается постоянной всюду (изоэнтропическое течение) и одно уравнение оказывается уже проинтегрированным. Еще раз подчеркнем, что все это справедливо лишь для гладких решений. Ударные волны (разрывы), которые могут возникнуть при сколь угодно гладких начальных данных, приводят к изменению эйтропии.
ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
287
Римановы инварианты. Характеристики. Следующая форма уравнений также оказывается очень полезной как при аналитических исследованиях, так и при конструировании приближенных методов. Сложим уравнение (Ia) с умноженным на 1/(рс) уравнением (7). После очевидной группировки членов имеем
Обозначая через (d/dt)+ оператор дифференцирования по направлению dx : dt = (и + с) : 1, можно записать это уравнение в виде
Такие же выкладки с заменой с на —с дают аналогичные уравнения. В результате система уравнений газовой динамики принимает так называемую характеристическую форму:
где (d/dt)° — d/dt + и d/dx.
Систему (11) можно сделать более прозрачной, если предположить течение изоэнтропическим. В этом случае вся термодинамика определяется одним переменным параметром, в качестве которого удобно взять скорость звука с. Выражение dp/(pc) становится, очевидно, дифференциалом некоторой «новой» термодинамической переменной, которую мы сейчас вычислим, а уравнения газовой динамики становятся (внешне) совсем простыми. Изоэнтропичность означает, что p(t,x) = A ру(t, х), ^ = Const. Тогда C2 = Ay р7-1.
1 2
После несложных преобразований получаем — dp — j- dc.
После внесения множителя 1/рс под знак дифференцирования уравнения (11) принимают следующую форму:
Здесь использованы новые переменные: R+ = и + 2с/(у — 1) и R~ — и — 2с/(у — 1). Они называются римановыми инвариантами, так как в изоэнтропическом течении их значения сохраняются на
[ut -I- (и -I- с)их\ -I- [pt -1- (и + с)рх] = 0. (9)
(10)
(12)
288
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
траекториях уравнений Xі = и ± с в том же смысле, в каком энтропия сохраняется на «траектории частицы».
Нетрудно видеть, что через значения новых переменных S, R~, R+ можно вычислить все остальные величины (и, р, е, ...), описывающие течение газа. Теперь уравнения «интегрируются» почти очевидным образом (S(t, х), R~(t, х), R+ (t, х) постоянны вдоль траекторий систем):
Х°~и, Х~ = и-с, X+ = и 4- с. (13)
К сожалению, мис сами суть функции S, R~, R+, поэтому «явного» решения мы здесь не получили. Однако интересен частный случай — газ с показателем адиабаты 7 = 3. В этом случае уравнения
интегрируются «до конца» (так как Ril = и± с) и семейства траекторий X~(t, Xq), X+(t, Х?) суть просто семейства прямых (вдоль линий этих семейств сохраняются значения их наклонов!).
Случай 7 = 3, как ни странно, реализуется физически. Ему соответствует газ, известный под названием «продукты взрыва». Ho нам интереснее другое: этот случай позволяет пояснить механизм образования разрывных решений из гладких начальных данных. Здесь он особенно прозрачен. В самом деле, проинтегрируем уравнения газовой динамики. Имея начальные данные
