Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
спиновым состоянием, и приписать фотону спин, равный единице. Частица с
конечной массой покоя и спином единица при заданном значении импульса р
находится в трех различных спиновых состояниях с проекциями s на
направление импульса, равными 1, 0 и -1. Для фотона возможны лишь два
направления поляризации: sp -±1. Это связано с равенством нулю массы
покоя фотона, которое связано с условием поперечности векторных ВФ
фотона.
10. В качестве примера вычислим вероятность спонтанного перехода между
состояниями 2p->ls в атоме водорода (спектральная линия Ly-a). Для
переходов из р-состояния в s-состояние вероятности переходов вне
зависимости от величины Дт равны
= Т -ЯЯГТГ*в- <16-55>
где через R обозначен радиальный интеграл
R = ^ RvjRmr2 dr.
Радиальные ВФ имеют (в атомных единицах) вид R10 (г) = 2е~г,
Rn (r) = -±-re-"2.
21 w 2V 6
Радиальный интеграл вычисляется элементарно:
R = -L- [ е~3г/2г* dr = 215'2 • З-9/2.
/6 J
Переходя к обычным единицам и подставляя это значение в формулу (16.55),
получим
4 ш%2 2" И*
F ~~ 9 Пс3 3" ш2е4 '
Частота излучения определяется формулой
aj = i-l?(2p)-?(ls)] = 4-^-.
311
Отсюда находим окончательное значение:
или Р+ (Ly-a) = 0,62 • 108 сек1. Это значение примерно в три раза больше,
чем оценка (16.43).
11. Если матричный элемент dfl обращается в нуль, то говорят, что
дипольный перевод между состояниями |t) и |f) запрещен. В этом случае для
вычисления вероятностей перехода следует улучшить приближение (16.40),
положив
e-ikr 1 _ (kr
Матричный элемент перехода определится интегралом
h = \ %* (г) (kr) (pea) я|з( (г) dr.
Поскольку ке = 0, удобно выбрать направления векторов к и е за оси
декартовых координат, например Ох и Оу соответственно. Тогда интеграл
примет вид
/]. = </1 ft (хру) | г) = <f I (хРи + РхУ) + {хри -рху) | г).
Второй член пропорционален г-компоненте орбитального момента /-.
Аналогично, для других направлений к, е матричные элементы равны
~Y<f\l 10. ^<f\lu\i)-
Излучение при переходах, вероятности которых определяются этими
матричными элементами, называется магнитным дипольным или М1-излученнем.
В нерелятивистском приближении при движении в центральном поле
орбитальный момент сохраняется и не имеет недиагональных матричных
элементов, отличных от нуля. Поэтому магнитные дипольные переходы в этом
приближении запрещены.
Для многоэлектронных атомов в случае LS-связи Ml-переходы должны
удовлетворять правилам отбора
Дщ = 0, Д/, = 0 (16.56)
для всех одноэлектронных ВФ. Поэтому возможны переходы только между двумя
состояниями, принадлежащими одной конфигурации и обладающими одинаковыми
значениями L и S. Разности энергий таких состояний малы
312
и соответствуют излучению частот микроволнового диапазона.
Первый член может быть преобразован следующим образом:
хрц + УРх = y <У2УХ-yxV2) = ~^ IУх, На\ = В .
Вычисляя матричный элемент оператора b между состояниями | пг) н | п),
получим
(т | b | п) =
= - ^((т\ух\1)(1\Н\п)-(т\Н\1) (1\ух\п)).
i
Учитывая, что у гамильтониана Н в собственном представлении отличны от
нуля только диагональные элементы, получим
^k(f\xpy + УРх | 0 = 2 1Г <m I *У 1 П> •
Излучение, испускаемое системой при переходах, вероятности которых
определяются такими матричными элементами, называется электрическим
квадрупольным или Е2-излучением.
Правила отбора для квадрупольных переходов можно получить из правил
(16.54), представив матричный элемент в виде
(т \ху | п) = 21 <т | * | /> </1 у | п).
i
Таким образом, для квадрупольного излучения отличны
от нуля вероятности переходов из состояния (п, I, т)
в состояние (v, Я, р), где
ГК - 1Ф О, Я = /± 2, |р - т\ф2.
Напомним, что все вычисления в пп. 16.8-16.11 относились к случаю, когда
состояние системы можно описывать УШ без учета релятивистских поправок. В
частности, во всех рассмотренных случаях выполнялось условие
S*/ - Sz{.
При учете взаимодействия спинового магнитного момента с внешним полем
отличные от нуля матричные элементы Ml-переходов возможны и для состоянии
частицы в центральном поле,
313
12. Выше мы установили, что возбужденные состояния атомов при учете
взаимодействия с электромагнитным полем не являются стационарными. Даже
при отсутствии фотонов в начальный момент амплитуда возбужденного
состояния атома со временем изменяется:
1 ^ ^ 1
%о Pfi '
Поэтому начальное состояние системы "атом -f- поле" не обладает
определенной энергией. Рассмотрим однофотонный переход между возбужденным
состоянием атома |1) с энергией (вычисленной без учета взаимодействия с
полем) и основным состоянием | 0) с энергией Е0. При временах, больших по
сравнению с Pjl, атом почти наверное будет находиться в основном
состоянии с определенной энергией Е0. Но поскольку в начальном состоянии
система "атом + поле" не обладала определенной энергией, то в конечное
состояние поля (при оо)
будет описываться некоторой функцией распределения по энергии. Найдем вид
этой функции.
Уравнения движения для амплитуд начального состояния а10 и конечных
