Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
членами ^ tiq/mc. Тогда, пренебрегая в знаменателе формулы (16.67)
единицей в силу неравенства (16.68), получаем
dof = 32а -4г- 7~S" > С0$2 (19- О6-69)
/ maZkqc<{_bqc\* >
\ тс )
Угловая зависимость в числителе показывает, что наиболее вероятно
испускание электрона в направлении электрического поля падающей волны.
Отметим, что при выводе формулы (16.69) мы не использовали разложение
экспоненты в операторе взаимодействия, а потому учли все порядки
мультипольности перехода. Проводя вычисление в дипольном приближении, что
эквивалентно замене
x = q, k = 0,
мы получим вместо углового фактора в знаменателе (16.68) единицу. В этом
случае можно провести интегрирование по углам и получить явный вид
полного сечения:
28jt "> / / \7/2
, (16.70)
где ? = Йсо - энергия фотона. Подчеркнем, что наше при-318
ближение пригодно лишь при Е^> I. Вблизи красной границы фотоэффекта
нужно пользоваться точными ВФ электрона в кулоновском поле.
Соответствующие расчеты показывают, что учет взаимодействия в конечном
состоянии приводит к появлению в формуле для сечения дополнительного
множителя
Г(1> = 2пУ~1МЩ,
Множитель F (?) уменьшает сечение фотоэффекта вблизи
Рис. 45.
красной границы. При E = I Z7 (g) - 2хсе-4 = 0,12 и медленно возрастает с
увеличением энергии Е. Даже при Е = 50 / значение F (|) составляет всего
0,66.
Отметим, что сечение иоцизации на красной границе имеет конечную
величину. Это связано со специфическим поведением кулоновских ВФ
непрерывного спектра на больших расстояниях. Для частиц, связанных
короткодействующими потенциалами, при E - I сечение фотоэффекта
обращается в нуль. На рис. 45 показана зависимость сечений от ЕЦ для
атома 11х и отрицательного иона Hf. Отметим также степенной характер
убывания сечения при Е-^со.
14. Выше мы рассматривали однофотонные процессы, в которых начальное
состояние системы принадлежало дискретному спектру. Если начальное
состояние электрона принадлежит непрерывному спектру, а фотонов в
начальном состоянии нет, то возможны два типа однофотонных процессов.
319
Конечное состояние электрона может принадлежать дискретному спектру, а
конечное состояние поля будет содержать один фотон. Такой процесс -
рекомбинация - противоположен фотоэффекту. Его сечение определяется
матричным элементом (16.66). Конечное состояние электрона может
принадлежать непрерывному спектру, а конечное состояние поля будет
содержать один фотон. Такой процесс неупругого рассеяния называется
тормозным излучением.
Рассмотрим тормозное излучение электрона в кулоновском поле ядра. Вместо
использования точных ВФ непрерывного спектра мы, как и в п. 16.13, будем
описывать начальное и конечное состояния электрона ВФ свободного движения
с определенным импульсом
ф/ = ^-с'Рг, ф, = ekv, т у L3 1 \ U'
а влияние кулоновского поля ядра учтем как возмущение
Матричный элемент оператора взаимодействия с полем Vг между функциями ф,-
и фу обращается в нуль: свободный электрон не излучает. Отличный от нуля
вклад возникает только во втором порядке теории возмущений от члена
первого порядка по Кдг и по V у.
(16.71)
Матричные элементы операторов VF и Vn вычисляются элементарно:
<b!^|p) = _^T_J_, (16.72)
<b, k|vv|p, 0> = -!]/|ge,pS(p-b-k). (16.73)
Энергии начального и конечного состояний определяются импульсами
соответствующих свободных частиц:
Учитывая закон сохранения импульса, имеющий место при взаимодействии с
квантованным полем, энергии промежуточных состояний можно выразить через
импульсы р, q, к:
?"=g,(ч+к)*.
¦?[<р-ч*+т4
Подставляя выражения (16.72), (16.73) в матричный элемент (16.71),
получим
</1*10= ___
4я2е2 eh Г 2n1i 1 Г (e; p) (ещ) 1 /1с7<1\
L3 т у L"w|p-q-k|*U/-
Направления импульсов фотона к и электрона р в конечном состоянии
независимы. Поэтому функция плотности конечных состояний может быть
представлена как произведение плотностей состояний для фотона и
свободного электрона:
р dE = ^LL* clQe JJ; U(r) dQp tic dk.
Определим дифференциальное сечение тормозного излучения как отношение
вероятности перехода к плотности
потока начальных электронов: Используя золотое
правило, получим do =
Г_м
р-Ч-к,4
Z%4 I qk
я2 | р
Найдем выражение для энергетического спектра испускаемых фотонов. Для
этого надо формулу (16.75) просуммировать по возможным направлениям
поляризации е*, и проинтегрировать по угловым переменным.
Введем систему координат с осью Ог вдоль р и плоскостью Охг, совпадающей
с плоскостью рк (рис. 46). Тогда компоненты векторов р, q, к будут
определяться выражениями
р = р(0, 0, 1),
к = /г (sin 0, 0, cos 6),
q = <7 (sin a cos р, sinasinp, cosa).
321
Вектор поляризации е" ортогонален импульсу фотона к, поэтому удобно
положить
ех = (-cos 6, 0, sin6), е2 = (0, 1, 0).
В нерелятивистском приближении формулу (16.75) можно
Рис. 46.
упростить, воспользовавшись, как и в п. 16.13, малостью импульса фотона.
Тогда
(р2 2qk -k2) ~ ?- (р2 - <?2)-Е*-Е"=L {-2дг k+2(*к~ w -Р2)' (16-76>
Р-q-k |4^(р - q)4 = (р2 + 92 - 2pq cos а)2.
