Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
Энергетические знаменатели в квадратной скобке формулы (16.75)
различаются только знаками и не содержат угловых множителей. Поэтому мы
можем ограничиться рассмотрением угловой зависимости числителей. Для
различных значений поляризации имеем:
а= 1: (ехр - exq) = -pcosG-]-q(sinGcosp - cosGsinasinP), а = 2: (е2р -
e2q) = - q sin a sin p.
Возводя эти функции в квадрат, складывая и интегрируя по 6 и р, получим
2я ^ dp ^ d cos G ^ (е?.Р - e?lq)2 = (q2 + p2 - 2pq cos a).
Оставшееся интегрирование no a также выполняется элементарно:
-f- 1
Лп (h\ _ 72а3 J(r). Я С __________^_______
НО (Л>) 3 р к } p°- + q*-2pq cosa '
- 1
322
Отсюда находим окончательный результат:
,to(*) = fzw^.l"[|±l]*. (16.77)
Введем безразмерную величину т], равную отношению энергий фотона tick и
начального электрона Et:
2 тс
Tj - k
ftp*
Тогда выражение (16.77) можно представить в виде
1 + ]Л - Г]\ di1
ч '
da (т]) = - Z2 а3 - In
° Г)2
3 р2 V 1 - У 1 - г) I
Логарифмический множитель при не слишком малых ц меняется медленно, и
зависимость сечения от энергии определяется главным образом множителем
г]-1. Спектральная интенсивность тормозного излучения определяется
выражением
1 + КГ
dS (со) = - Z2a3 - In
-Ч
1 - \Ai - ч
• dco. (16.78)
Зависимость спектральной интенсивности от г) показана на рис. 47. Отметим
логарифмический рост S (со) при со ->• 0. Такое поведение характерно для
чисто кулоновского потенциала. Отметим, что при со->0 матричные элементы
возмущений (16.72), (16.73) становятся большими, а энергетические
знаменатели в (16.74), напротив, становятся малы. Таким образом, в этом
случае нарушаются условия применимости теории возмущений.
Рис. 47.
15. Выше мы рассматривали одноквантовые процессы,-в которых начальное и
конечное состояния поля отличались значениями только одного из чисел
заполнения. Сечения таких процессов определялись в первом порядке теории
возмущений по полю матричным элементом возмущения, линейного по оператору
А. В нерелятивистском приближении возможны следующие двухквантовые
процессы: двухфотонное поглощение (в начальном состоянии - два фотона,
323
в конечном-фотонов нет), двухфотонное излучение (в конечном состоянии-
два фотона, в начальном - фотонов нет) и рассеяние (в начальном и
конечном состоянии - по одному фотону с различными, вообще говоря,
квантовыми числами).
Рассмотрим рассеяние фотонов свободными электронами. В этом случае в
первом порядке теории возмущений отличный от нуля вклад дает только
второе слагаемое в операторе возмущения в (16.32):
Здесь для А должно быть взято выражение (16.28). Выбирая ВФ электрона в
начальном и конечном состояниях в виде плоских волн, как и в п. 16.14, и
обозначая через Ь, е,- и k, Cj импульсы и поляризации фотона в начальном
и конечном состояниях, запишем матричный элемент перехода:
Интеграл отличен от нуля только при условии
k+q=p+b и вычисляется в этом случае элементарно:
Нашей конечной целью является вычисление сечения рассеяния фотона.
Дифференциальное сечение рассеяния определяется золотым правилом:
При заданных b и р величина и направление импульса фотона в конечном
состоянии связаны с углом рассеяния 6 между направлениями b и к. Примем
для простоты, что в начальном состоянии электрон покоится: р - 0. Тогда
из закона сохранения энергии следует равенство
2я/)С-- 2 i (р Д Ь - q - к) г
Z.6 У Ьк 7
do(к, а) = -^|<ЛК|0!2Р(?/), (16.79)
где плотность конечных состояний
hcb = hck + -^ = ric[k + -\( k-b)2], (16.81)
324
где введена величина п
тс
= 3,86-10 11 см - аа0,
называемая комптоновской длиной волны электрона.
Дифференцируя формулу (16.81) по k, найдем величину
dEf
входящую в выражение для плотности конечных состояний:
dk / dE, ут
7^ = \Ж) = {"*[!+cos 0)]}-". (16.82)
Рассмотрим произведение векторов поляризации е,е/. В качестве базисных
направлений удобно выбрать вектор ei в плоскости bk, а вектор е2 -
перпендикулярным этой пло-скостн. Тогда отличны от нуля будут только
произведения
el'e( = cos 6, eje( = 1.
Если начальный фотон не поляризован, то формулу (16.82) следует усреднить
по поляризациям. Это приводит в появлению в выражении для сечения
множителя
(ее})2 = (1+cos2 6).
Итак, для усредненного по поляризациям дифференциального сечения
рассеяния получаем формулу
Ш[T+whсо,] т Чг1 <1МЗ>
Учитывая малость величины k"h в нерелятивистской области, можно разложить
b по этому параметру. Сохраняя члены первого порядка по k%, получаем
da (k) ъ )2 [1 - т (1 - cos 6)] 1±"Ё± dQ.
Интегрирование по угловым переменным элементарно. Полное сечение
рассеяния имеет вид
cr = - rl (1 - 2Щ = cry- (1 - 2Щ.
Здесь аг есть классическое томсоновское сечение рассеяния свободными
электронами. Квантовая поправка уменьшает сечение с ростом энергии фотона
*.
325
ЗАДАЧИ
1. Показать, что в динольном приближении в системе двух тождественных
заряженных частиц излучения нет. Аналогичное утверждение имеет место и в
классической электродинамике: для двух частиц с одинаковыми ей т
