Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
div А = 0. (16.2)
Тогда из уравнений (16.1) следует волновое уравнение для вектор-
потенциала
да-4§*=°- сб.3)
Допустим, что все поле излучения находится в кубе с ребром L и подчинено
граничным условиям периодичности на стенках куба. Тогда решение уравнения
(16.3) можно представить в виде
А=УХ (О A" (г) + at (/) At (г)], (16.4)
к
299
где коэффициенты щ зависят только от времени. Решение уравнений для
функций А* (г), удовлетворяющих условиям периодичности и поперечности,
имеет следующий вид:
А? (г) = Ne)eik>r. (16.5)
Здесь вектор е-А, подчиненный требованию
е,к, = 0, (16.6)
задает направление поляризации, а вектор к, определяющий
направление распространения, может принимать
лишь дискретный набор значений
2я пц
(16.7)
где Пц - целое число. Итак, для задания состояния АЛ(г) надо указать
значения четырех параметров: Пц, пГ/у "зх, а. Параметр а указывает
поляризацию и принимает два значения. Решение (16.5) может быть умножено
на постоянный множитель, определенный из условия нормировки. Потребуем
выполнения равенства
^ AftA* dr = 4to26w. (16.8)
Соответствующие решения (16.5) примут вид
(16.9)
Зависимость от времени коэффициентов ah (t) определится формулой
(r)Л = с|кх|. (16.10)
Полная энергия поля в объеме периодичности L3 есть
? = i^(E2 + HVr. (16-11)
Выражая поля Е и Н через векторный потенциал с помощью соотношений
Е = ~4ж' H = r°tA (16-12)
и используя решение волнового уравнения в виде (16.9), получим
? = 2 2щаха1. (16.13)
к
300
Введем классические действительные переменные
Qh=ah+at, РЛ = -tcox(ax-a?). (16.14)
Тогда выражение для полной энергии поля (в кубе L3) может быть
представлено в виде
E = ~2.(Pi + uiQi) = HFc. (16.15)
я
Это выражение можно рассматривать как запись классической функции
Гамильтона для свободного поля в кубе L3 в канонических переменных Р-А,
Qt_. Соответствующие уравнения Гамильтона имеют вид
дНРГ
-^ = Р". = Ок. (16.16)
dHFr
-^ = со= (16.17)
2. Обобщая основные положения на описание немеханических систем, для
квантового описания свободного электромагнитного поля мы заменим
классические канонические переменные Ръ Q-, на операторы, удовлетворяющие
перестановочным соотношениям
[Ря. QM] = ihb-щ,
[Л, Л.] = Кь Qm] = 0. 1 • '
Как классическая функция Гамильтона (16.5), так и оператор Гамильтона для
свободного поля распадается на сумму гамильтонианов невзаимодействующих
осцилляторов:
я=2^=т2^+(о^- (16Л9)
я я
Собственные значения энергии каждого осциллятора определяются, как
известно, формулой
Ек = !шх (iii + 1/2). (16.20)
Рассмотрим классическое выражение для импульса поля
S = ^$[ExH]dr. (16.21)
301
При подстановке в это соотношение выражений для полей мы придем к формуле
S=yiS> = yi2(,)k}aKat (16.22)
я я
Выражение (16.22) отличается от формулы (16.13) для энергии поля лишь
наличием векторных (неоператорных) множителей. Поэтому при переходе к
квантовому описанию оператор импульса электромагнитного поля коммутирует
с гамильтонианом, а его собственные значения для каждого из осцилляторов
поля суть
S^ = M(%+l/2). (16.23)
Таким образом, энергия и импульс электромагнитной волны коммутируют, что
в квантовой механике частиц соответствует случаю свободного движения.
Далее, разности энергий и импульсов плоской волны с заданным значением К
и основного состояния поля кратны величинам tla}, и h(i))Cl
соответственно. Поэтому плоскую поперечную электромагнитную волну можно
рассматривать как систему невзаимодействующих частиц - фотонов - с
энергией йод и импульсом Йоде 'п.
3. Как и при рассмотрении гармонического осциллятора в п. 3.12, введем
безразмерные операторы
к = У oA-iP;), (16.24)
Ъ=у.4И. + <Л). (16.25)
Из коммутационных соотношений (16.18) следуют перестановочные соотношения
для операторов
\У .. (16.26)
К, Оц| = 1оя. о?| = 0.
Л. Л
Таким образом, операторы а+ и а можно рассматривать как операторы
рождения и уничтожения фотонов, действующие в пространстве чисел
заполнения с базисными функциями (16.10). Из (16.26) видно, что фотоны
являются бозонами.
Гамильтониан свободного электромагнитного поля, выраженный через
операторы aj, и о?., имеет вид
Н = У ^ {a,at + aj.a,) = ^ Пщ (пк + ' j. (16.27)
302
Выражение для оператора вектор-потенцнала А через операторы рождения и
уничтожения фотонов можно записать, сравнив формулы (16.15) и (16.24):
А = 2(">А + сМ)- (16.28).
к
При переходе от классического выражения для функции Гамильтона к
оператору Гамильтона (16.19) мы можем, как и в механике частиц, считать
зависимость от времени включенной только в ВФ А? (представление
Шредингера) или только в операторы Р}, Q} (представление Гайзенберга). Мы
выберем первый вариант -пред-' ставление Шредингера. Зависящие от времени
ВФ имеют вид
A* = /^V-(kr-->.' (16.29)
4. Рассмотрим уравнение Шредингера для нерелятивистской заряженной
частицы без спина, взаимодействующей с переменным электромагнитным полем,
которое будем описывать классическими (не операторными) потенциалами А и
