Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
состояний аок (индекс 7, здесь означает квантовые числа фотонов) имеют
вид
Щ ^ У| Ще1 а01, (16.57)
х
т ^ = 2 <0Я! V | Ю> е-1'(ао-ил)1а10. (16.58)
Нас интересует решение этой системы с начальными условиями
"ю (0) = 1, "ох (0) = 0.
Будем искать решение в виде
а10(0 = е-*/2. (16.59)
Подстановка этого решения в уравнение (16.58) и интегрирование по времени
с учетом начальных условий приводят к соотношению
п _ /па П/ I 1П\ exp [t (ох - (0") f-уб/2] - 1 "ох-<Ол| V I 10) • h
(Шл"Ыи + (-т/2) • (Ib.bU)
Подстановка этого решения в уравнение (16.57) приводит к соотношению
;* V __ v 1 V 2 1 -ехР 1' (to.i -(0?.)+Y/2J {
2 1 L1 А (со0 - <$),- iy/2)
К
Поскольку спектр фотонов квазинепрерывен, суммирование по А можно
заменить интегрированием по частотам. Итак
СО
- а 1 - S р WI г,. Г 1 --¦
о
Предполагая у малым по сравнению с со, мы можем пренебречь этой величиной
в правой части. Разобьем функцию времени под интегралом на действительную
и мнимую части:
р, __ 1 - exp i (со0 - (о) t 1 -cos (со0-to) t . sin (top-to) t
' too -to - (to0-to) ¦ 1 too-to
В пределе (co0 - со) t -> оо вклад в интеграл от действительной части
даст только монотонная функция (to0 - со)-1, так как cos(co0 - со)/
быстро осциллирует. При этом интеграл от действительной части следует
вычислять в смысле главного значения, учитывая нечетность Re/7 (со).
Таким образом, у имеет отличную от нуля мнимую часть
00
Imv=4(P(")|FP"j^, (16.61)
.0
соответствующую поправке к средней частоте излучения. Обычно эта поправка
незначительна. Интеграл от мнимой части /''(со) определяется окрестностью
точки со = со0:
CO
- i § р (со) 1 V Р dQ J Жо я*
О
, Л р (k0) I R I2 clQ $ sin
Таким образом, действительная часть у определяется равенством
Кеу=^5р(^)|Р|гЙ-МП
315
и равна полной вероятности излучения в единицу времени. Распределение
фотонов в конечном состоянии по энергии можно получить из (16.60),
положив t->- оо:
(16.62)
Интегрируя по телесному углу и умножая на плотность конечных состояний (в
интервале энергий), получим с учетом (16.62)
Форма линии, описываемая выражением (16.63), называется естественной или
лореицевской.
Отметим, что ширина липни оказывается пропорциональной интенсивности
спонтанного излучения: чем спектральная линия интенсивней, тем она шире.
Такая же связь между шириной и интенсивностью линий имелась и в
классической модели осциллятора с радиационным затуханием. Однако при
переходе между возбужденными состояниями ширина линии определяется суммой
констант у для верхнего и нижнего уровней:
Поэтому спектральная линия, соответствующая переходу в короткожнвущее
состояние, будет широкой, но, возможно, слабой.
13. Выше мы рассматривали переходы под действием электромагнитного
поля, в которых как начальное, так и конечное состояния атома
принадлежали дискретному спектру. Если энергия поглощаемого фотона /ко
больше потенциала ионизации /, то в результате поглощения один из атомных
электронов может перейти в состояние, принадлежащее непрерывному спектру.
Это явление называется фотоэффектом. Вероятность перехода в единицу
времени определится формулой
Основное упрощающее предположение в теории фотоэффекта состоит в замене
ВФ конечного состояния, учитывающей взаимодействие электрона с атомным
остатком,
(16.63)
У s = Y/ + Yi-
1> |р (?,).
316
на ВФ свободного состояния - плоскую волну
*" = 77=5**. Ч = й JP-I LA
Плотность числа конечных состояний для свободного электрона имеет вид
=j0WdQ- (1664)
Итак, вероятность испускания в единицу времени электрона с импульсом,
лежащим внутри телесного угла dQ, имеет вид
dp/*=<wK<i. ol 01*.
Используя явный вид оператора взаимодействия
"т-5-/тае'<к,-"м-ад4.
получим выражение для вероятности фотоэффекта в виде
dPt- 2иИ § e^('tг"чr, (exV)^(r)#r|2dfi. (16.65)
Очевидно, это выражение явно зависит от нормировочного объема L3 для
фотонов. Удобнее вычислять величину сечения перехода, равную отношению
вероятности перехода к плотности потока фотонов Lrzc. Вычислим сечение
фотоэффекта для атома водорода в основном состоянии. ВФ начального
состояния имеет вид
ф; (г) -______е~г/ал.
т w V "as
Введем обозначение х для волнового вектора переданного
импульса:
х = k - q.
Проводя в формуле (16.65) интегрирование по частям и учитывая
поперечность поля, найдем
j ^ еЫт (eaV) фг cfr | = | eaq § фге~Ыг dr j. (16.66)
Интеграл вычисляется элементарно в сферических координатах:
r-Lr. exp (- - -f-t'xr cosbV2яsin6• r2d/-d6 nal J \ cio J
\ ao j (1+а*х2)2
(16.67)
317
Обозначим через 6 угол между направлениями импульсов фотона к и электрона
q, а через ф -угол между плоскостями kq и ек. Тогда
eq = q2 sin2 0 cos2 ф,
х2 = 92^ 1 - 2-^-cos e +
Если энергия электрона в конечном состоянии много больше энергии связи:
1г2д2. е*т 2т ^ Ш *
то волновой вектор электрона много больше обратного боровского радиуса:
^>W=L (16'68)
Далее, учитывая, что волновой вектор фотона k = axr1, имеем
k со hq
q ~ cq ^ 2 тс '
В нерелятивистском приближении можно ограничиться
