Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
ф. УШ имеет вид
-{? + "*"]¦-ЗГДРА + АРН+^АЧ,. (16.30)
Второй член в правой части преобразуем с помощью
равенства
[р, А] = - Ш div А. (16.31)
Если векторный потенциал удовлетворяет условию куло-новской калибровки
(16.2), то УШ примет вид
- ш ?=|?+еф Н * - 4Ар^+А^- <116-32)
Оценим порядок величин в правой части для внешнего поля, гармонически
меняющегося во времени:
С/о
А (f) = -^-sincof. (16.33)
Тогда, если импульс частицы имеет типичную для атомных систем величину р
^ те2/!1, то члены в правой части
303
(16.32) имеют порядок величины Е0, ?ор и Е0р2 соответственно, где р-
безразмерный параметр:
Р=-- (16.34)
' top meat v '
В оптическом диапазоне (мя" 101Б сек1) параметр р сравним с
единицей в полях с напряженностью $ 10е ед.
СГСЗяа 108 е/см, т. е. при интенсивности излучения ~ 101Б вт ¦ см 2. Чаще
приходится иметь дело с полями, в которых выполняется условие р 1.
Поэтому второй и третий члены в правой части (16.32) можно рассматривать
как малые возмущения. Отметим, что даже при р 1 членом, квадратичным по
А, нельзя пренебрегать по сравнению с линейным, так как они описывают
различные явления.
5. Рассмотрим взаимодействие квантовомеханической системы с
квантованным электромагнитным полем. Для этого в УШ (16.32) заменим
классическое выражение для вектор-потенциала на оператор (16.28). В
дальнейшем для краткости квантовомеханическую систему будем называть
атомом. Гамильтониан системы "атом + поле" имеет вид
Й = Йа+У + НР, (16.35)
где
НР='%Пщ(а&1+±), (16.36)
К
V (*) = - р 2 Vmt*a' (^iikr~at) + ^te-iikr-at)).
к
Отметим, что оператор взаимодействия зависит от времени явно. В (16.35)
мы опустили оператор возмущения, квадратичный по вектор-потенциалу.
В отсутствие взаимодействия стационарные состояния системы описываются
произведениями СФ гамильтониана атома |v) (под v понимается набор
квантовых чисел) и СФ гамильтониана свободного поля в представлении чисел
заполнения | п,). Здесь tv, означает число фотонов с заданными значениями
волнового вектора к; и поляризации еа. Матричные элементы зависящего от
времени оператора V (/) в первом порядке теории возмущений отличны от
нуля только между функциями состояний,
304
в которых число фотонов с некоторым Я отличается на единицу:
<v, nh\ V | ц, "?.+ l) = <v, п | V}, | p. n+l>, где введен оператор
^ =~ Тг У Ш eePd^(kr~"°' (16-37)
Такой переход соответствует поглощению фотона атомом. Аналогично,
переход, соответствующий испусканию фотона, определяется вторым слагаемым
в операторе V:
<v, nK\V\p, пк- l> = (v, n\V?\n, п 1),
где введен оператор
6. Пусть в начальный момент времени поле находится в вакуумном
состоянии. Все числа заполнения равны нулю. Тогда единственным возможным
процессом будет испускание фотона. Поскольку при размерах куба L3,
больших по сравнению с длиной волны фотона Я, спектр свободного поля
является квазинепрерывным, мы используем полученное в п. 11.8 золотое
правило
un.\i, 0>|P(Ef), (16.38)
где индексы /иг относятся к конечному и начальному состояниям атома
соответственно. Определим плотность числа состояний. Число состояний поля
с фотоном, импульс которого лежит в интервале значений (р, р + dp) и
интервале углов dQ, есть
7 _ L3p2 dp dQ L3e2 dp dQ
d/V - (2nh)3 ~ c2 (2л/г) •
В последнем выражении через е обозначена энергия фотона с импульсом р:
е - ср = /но.
Учитывая это равенство, для функции плотности состояний получаем
выражение
dNp ZAo2 dQ *>(Е) = Т = Т(5SF- <16-39)
11 П. В. Елютин. В. Д. Кривченков 305
Подставляя это выражение в формулу (16.38), получим
<fl"-4,P Ю-г/Це*
,n 2я L3<a2
dP
2
Р П2 (2лс):|
= й?г1</|с-''к,'Р10еа!2 *й.
Наибольший вклад в матричный элемент
</1 e'kr р | /> = $ Ф* (г) е_гк|РФг (г) dr
дают области значений г, в которых атомные ВФ заметным образом отличны от
нуля: 1СИ см. В оптиче-
ском диапазоне k 105 смг1, и в существенной области интегрирования
показатель экспоненты оказывается малым. Ограничиваясь первым членом
разложения
g-tkr = 1 - ikr _ +..., (16.40)
получаем
</|e-ftrp|0^<flPlO.
Учитывая доказанное в п. 3.9 тождество -~-<1\Р\0 = </ SI ">.
получаем для dP+ следующее выражение:
dPfi- 2sic'Jh I dfi^a I2 dQ. (16.41)
Здесь dfi означает матричный элемент дипольного момента: d = ег. Выбирая
ось сферической системы координат в направлении импульса фотона к и
учитывая, что вектор поляризации ортогонален импульсу, представим (16.41)
в виде
/,чЗ
dPfi = | dfi |2 sin2 6 d cos 6 dcp.
Полная вероятность испускания фотона в единицу времени определится
интегрированием по углам б и <р:
рЬ = |а(4^)2"3. (16.42)-
где а -постоянная тонкой структуры. Для атомов матричный элемент rfi по
порядку величины равен еР/Нш и вероятность излучения Pfi имеет порядок
Pfi^t cfto. (16.43)
306
Вероятности переходов при наличии фотонов в состоянии с числами К
отличаются от Pf( только числовыми множителями. Учитывая соотношения
<п+1 \а+\п) = Уп-{-1,
{п - 11 а | п) = п,
получаем
Ра{(п}-\\У^\щ)\ = щР\ (16.44)
Ре {<">.+ 1\П\пл>} = (%+ 1 (16.45)
