Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
287
ному условию в нуле. Решение, удовлетворяющее такому условию, будет в
бесконечности иметь вид
Фх (х) = Ф0 (х) + ф(х).
Считая функцию ф (х) малой по сравнению с Ф0 (х) в
области больших х, можно подставить решение Фх (х) в урав-
нение Томаса -Ферми и сохранить лишь линейные по ф члены. Тогда получим
уравнение
^" = -^{фо/2Ф = ^ф. (14.59)
Очевидно, уравнение (14.59) имеет решение, убывающее
степенным образом:
в -\+УТъ Q 7_
Ф = -т, v =----^2----^3,77,
с показателем степени v большим, чем п - 3. Это оправдывает сохранение в
(14.59) лишь линейных по ф членов. Итак, при больших х
Ф! (х) 144x-3 + Bx-v. (14.60)
Решение с асимптотикой (14.60) может быть выбрано
в виде
Ф,<4=- 144
где а, Р -константы. Потребуем выполнения граничных условий. Тогда из
требования конечности величины Ф (0) следует:
3 - "(v - 3) = 0,
Константа р определится из условия Ф(0)=1:
Р"= 144.
Итак, окончательный вид приближенного решения есть
*Н1+(тйТ-
Такое выражение удовлетворительно согласуется с численным решением, давая
несколько меньшие значения Ф(х).
288
Отметим, что в описании атома с помощью уравнения Томаса -Ферми детали
спектров, связанные с оболочеч-ной структурой, оказываются утраченными.
Кроме того, существенным недостатком решения Ф(х) является степенной
характер убывания электронной плотности на больших расстояниях вместо
экспоненциального. Поэтому решение Ф (х) приводит к завышенным значениям
таких величин, как rt или гг, в частности, его нельзя применять для
оценки магнитной восприимчивости у.
1. Определим функцию распределения расстояния между электронами в
атоме гелия соотношением в
Найти 6 (г12) для основного состояния с ВФ (14.2).
2. Вычислить кулоновский и обменный интегралы для атома гелия в состоянии
с одноэлектронными ВФ (14.10). Найти Es и ?,.
3. Оценить потенциал ионизации отрицательного иона водорода, используя
пробную функцию
4. Показать, что термы конфигураций (nl)k и (ril)il+2~k совпадают.
5. Найти возможные термы для конфигураций (ns, n's), (ns, п'р), (ns,
ri'd), (пр, п'р).
6. Найти возможные термы для конфигураций с одной незаполненной оболочкой
(пр)3, (nd)2, (nd)3, (nd)4, (nd)5, (nf)2.
7. Используя правило Хунда, найти термы основных состояний для
электронных конфигураций, рассмотренных в задаче 14.6.
8. Показать, что для конфигурации (til)k при k sc 2/ +1 терм с наибольшим
значением L будет синглетом при четном k и дублетом при нечетном k. Найти
соответствующие значения L.
9. Построить общие СФ операторов L2, Lz, S2, S, для конфигурации (пр)3.
10. Конфигурация (nd)3 обладает двумя термами Ю. Найти ВФ для каждого из
этих термов.
11. Найти для конфигурации (пр)3 отношение
ЗАДАЧИ
Ф (а, Р)=е ari + е
E(~P)-E(W)
Е (2Е>) - Е (4S) •
289
12. Найти для конфигурации (nd)2 отношение
Е (3Р)-Е (3F)
Е ('G)-E (lD) '
13. Найти пределы изменения множителя Ланде g при заданных значениях L и
S.
14. Найти терм конфигурации (nd)5, для которого отсутствует линейный
эффект Зеемана.
15. Вычислить диамагнитную восприимчивость гелия.
16. Найти расщепление уровнен энергии атома водорода во внешнем
однородном магнитном поле, если величина расщепления сравнима с
интервалами тонкой структуры.
17. Оценить в модели Томаса - Ферми число заполненных s-оболочек для
атома с зарядом ядра Z.
18. Используя метод, рассмотренный в п. 5.4, найти значения Z, при
которых в атоме начинают заполняться оболочки l+l, I.
Глава 15
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА
1. Если пренебречь различием между центром масс молекулы и центрами
масс ядер и считать, что центр масс закреплен в начале координат, то
уравнение Шредингера для двухатомной молекулы будет иметь вид
i-UXfJL + JL + JL\_
l 2m L. \ dxj ^ dyj 1 dz'j j i
й2Гб]гб\. 1 d ( ¦ г, d\ , 1 5(r) 1 .
2Л1р2 j ф E* 6pJ sin б 66 \ 1П 66/ sin2 6 бф3] '
+ V {Xi, Уi, Zi, p, 6, ф)}№, Ui zh P, 0, q>) = Ety. (15.1)
Здесь x;, yit Zi суть координаты i-го электрона относительно неподвижной
системы координат 2, углы 6 и ф определяют положение в пространстве
прямой, соединяющей ядра, р -расстояние между ядрами, а А1 - приведенная
масса двух ядер.
В системе координат 2 потенциальная энергия электростатического
взаимодействия V зависит от 0 и ф. Перейдем в систему координат 2',
вращающуюся вместе с ядрами. Координаты электронов в новой системе будем
обозначать прежними буквами xit yt, zi4 Ось Oz системы 2' направим вдоль
прямой, соединяющей ядра, а ось Ох расположим в плоскости (Oxy)z. Новая
система 2' получена из 2 путем последовательных поворотов на углы Эйлера
ф-|-л/2, 6, 0. Поэтому
(*" У,, = Uty (х^ yh Zi),
C = eiL^eLz^+ 2~). (15.2)
Заметим, что операторы Lx, Ly, Lz имеют одну и ту ¦ же структуру
относительно переменных х{, у;, г; в системах 2 и 2'. Рассмотрим
изменение гамильтониана при унитарном преобразовании (15.2). Первый член
-сумма
291
лапласианов в пространстве электронных координат - остается неизменным.
Для преобразования второго члена заметим, что
/а6/2 (Ф + ^) 5 Г (Ф + Т) е- =
Оф т
